x^(2/3) + y^(2/3) = 1で囲まれる領域Ｄ

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質問者：netw2009
質問日時：2009/08/03 05:56
回答数：8件

x^(2/3) + y^(2/3) = 1で囲まれる領域Ｄを求めたいのですが、どのように求められるのでしょうか？

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回答 (8件)

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No.8ベストアンサー

回答者： inara1
回答日時：2009/08/03 21:21

ANo.7 です。

ANo.4さんの参考URLと同じものを参照していました。

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No.7

回答者： inara1
回答日時：2009/08/03 21:16

曲線が x^(2/3) + y^(2/3) = 1 で定義されるときは第１象限だけが対象ですが、媒介変数表示でｘ＝ { cos(θ) ]^3、y ＝ { sin(θ) ]^3 で定義される曲線（アステロイド）は第１象限～第４象限までが対象になります。

後者のアステロイドで囲まれた領域の面積は、参考URLで a = 1 とした場合の (3/8)*π となります。第１象限の面積だけなら (3/32)*π = 0.29452431127404311610 ・・・になります。

参考URL：http://sanwa.okwave.jp/qa169279.html

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No.6

回答者： arrysthmia
回答日時：2009/08/03 20:22

「訊ねたのは面積で、曲線のパラメタ表示じゃない」

と言われないように、No.2 に補足。
アレは、∫{ x dy/dθ } dθ を計算せよという意味です。

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No.5

回答者： info22
回答日時：2009/08/03 18:28

#4です。

A#4の補足質問の回答
>とても基本的なことに関してなのですが、x^(2/3)のxは、x^(1/2)のように、正の値しか取れないのでしょうか？
今の場合XY平面の面積を考えていますのでx,yは当然実数の範囲で考えるべきでしょう。
そうだとすると厳密にはxは正の値しか取れないですね。

この場合、
次の質問の回答にあるように
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …
一般的なルールでは
x^rを考える時
　r が自然数 … x は任意の実数（※）
　r が整数 … x≠0（※）
　r が実数 … x＞0
今の場合r=2/3(実数)ですから　x＞0という条件がつくということです。

なので、アステロイドを-1≦x≦1で考えたい場合は、正確な表現は
#2さんが触れて見えるように
(x^2)^(1/3)+(y^2)^(1/3)=1
とすべきですね。

そうすればx（実数）が負でも　x^2＞0となり、その正の実数の(1/3)乗も上のルールが適用できます。
アステロイドの方程式は
x^(2/3) + y^(2/3) = 1
と書かれていますが、
正確には上のように
|x|^(2/3) + |y|^(2/3) = 1
または
(x^2)^(1/3)+(y^2)^(1/3)=1
と書くべきですね。

---より詳細な解説----
x=0に対しては
0^(2/3)=0としますが微妙です。
ε>0に対してlim(ε→0)ε^(2/3)=0、
lim(ε→0)(-ε)^(2/3)=?と確定しないからです（上のルールが適用できない）。しかし((-ε)^2)^(1/3)であれば問題なしですね。
0＜x＜1は問題なし。
-1＜x＜0の場合も
(x^2)^(1/3)であれば、x^2＞0なので(1/3)乗しても上のルールが適用できます。