不等式を満たす整数がただ１つであるような定数範囲

a≧1 であるとき、不等式 a+1≦x≦2a を満たす整数がただ１つであるような定数aの範囲を求めたいです。

この問題の意味はとてもわかりやすいのですが、この分析の方法を教えてください。

なかなか検討ができないのですが、少し考えてみました。

①具体的にaに値を代入して不等式の区間を出してみました。
a=1のとき、2≦x≦2 を満たす整数１つ。
a=1.9のとき、2.9≦x≦3.8を満たす整数は１つ。
a=2のとき、3≦x≦4 を満たす整数は２つあり不適。
a=2.1のとき、3.1≦x≦4.2を満たす整数は１つ。
a=2.4のとき、3.4≦x≦4.8を満たす整数は１つ。
a=2.5のとき、3.５≦x≦5を満たす整数は２つあり不適
a=2.9のとき、3.9≦x≦5.8を満たす整数は２つあり不適。
a=3のとき、4≦x≦6 を満たす整数は３つあり不適。
a=4のとき、5≦x≦10 を満たす整数は６つあり不適。
以上の実験から、1≦a<2.5かつa≠2？

②区間の幅が２以上だと、区間に含む整数は２個以上になってしまう。←この命題は真？
※これを数式で証明するにはどうすれば？
例）2≦x≦4のとき（区間の幅は２）整数解は３つ
例）2.1≦x≦4.1のとき（区間の幅は２）整数解は２つ
この問題の場合、区間は2a-(a+1)=a-1なので
a-1≧2つまりa≧3のときは正整数解を２個以上含むことになり不適。
だからa<3が必要条件？

③区間の幅が１のときは区間に含む整数は１個のときもあれば２個のときもある。
例）2≦x≦3のとき（区間の幅は１）整数解は２つ
例）2.1≦x≦3.1のとき（区間の幅は１）整数解は１つ

上手く考察するにはどうしたらいいでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 

  初歩的ですが、再度、具体的なaの値に対する区間を列挙してみました。
  【＊】の＊は区間に含まれる整数の個数
  a=1のとき、2≦x≦2【１】
  a=1.1のとき、2.1≦x≦2.2【０】
  a=1.2のとき、2.2≦x≦2.4【０】
  a=1.3のとき、2.3≦x≦2.6【０】
  a=1.4のとき、2.4≦x≦2.8【０】
  a=1.5のとき、2.5≦x≦3【１】
  a=1.6のとき、2.6≦x≦3.2【１】
  a=1.7のとき、2.7≦x≦3.4【１】
  a=1.8のとき、2.8≦x≦3.6【１】
  a=1.9のとき、2.9≦x≦3.8【１】
  a=2のとき、3≦x≦4【２】

    補足日時：2019/12/19 21:57

• 

  a=2.1のとき、3.1≦x≦4.2【１】
  a=2.2のとき、3.2≦x≦4.4【１】
  a=2.3のとき、3.3≦x≦4.6【１】
  a=2.4のとき、3.4≦x≦4.8【１】
  a=2.5のとき、3.5≦x≦5【２】
  a=2.6のとき、3.6≦x≦5.2【２】
  a=2.7のとき、3.7≦x≦5.4【２】
  a=2.8のとき、3.8≦x≦5.6【２】
  a=2.9のとき、3.9≦x≦5.8【２】
  a=3のとき、4≦x≦6【３】
  
  a=1, 1.5≦a<2, 2<a<2.5 が解？
  ※数学的な証明でなく、観察からの帰結。

    補足日時：2019/12/19 22:01

• 

  No1の回答について
  
  区間に含まれる整数が１つのみ
  ⇒　a=1,　1.5≦a<2,　2<a≦3
  
  は正しいのですが、
  ⇒の右側が必要条件であって十分条件でないということではないでしょうか。
  そうすると、a=1,　1.5≦a<2　などについても、十分性を示さないといけないのでは？
  
  a=1のときは区間が2≦x≦2となり、確かに整数は１つ
  1.5≦a<2のときは区間が2.…≦x≦3.…となり、確かに整数は１つ
  ※2.…や3.…という書き方はよくないか。0≦δ，ε<1を用いて 2+δ≦x≦3+εと記述すると数学っぽくなりますが本質的には同じだなぁ。
  
  ここから、
  a=2のときは区間が3≦x≦4となり不適。
  2<a<2.5のときは区間が3.…≦x≦4.…となり整数は１つ。
  a=2.5のときは区間が3.5≦x≦5となり不適。
  などともできそうですが、このような考察はやはり観察的ですね。

    補足日時：2019/12/19 22:28

No.1 ベストアンサー 回答者： スチールウール 回答日時： 2019/12/19 21:31

xは整数です

x-1 < a+1≦ x ≦2a < x+1
が成り立ちます (そうでないと一つじゃない)
最初の左3つから a+1≦x<a+2…①
右の3つから 2a-1<x≦2a…②

①からx = a+1+δ (0≦δ<1)とおける(ようするにa+1を切り上げたもの)
これを②に代入すると
2a-1<a+1+δ≦2a
a-2<δ≦a-1
δ+1≦a<δ+2

0≦δ<1より1≦a<3
つまり、(xはa+1を切り上げたものなので)xは2,3,4のみ

δの話がキツイなら
①よりa+1≦x<a+2≦x+1<a+3
元の式に追加して2a<x+1<a+3. 要するに2a<a+3
a<3
a+1(≦x)≦2aより1≦a
よって、1≦a<3
①より2≦x<5. よってxは2,3,4のみ

[1]x=2のとき
①より a+1≦2<a+2
0<a≦1
②より2a-1<2≦2a
1≦a<1.5
よって、a=1のみ

[2]x=3のとき
①より a+1≦3<a+2
1<a≦2
②より2a-1<3≦2a
1.5≦a<2
よって、1.5≦a<2

[3]x=4のとき
①より a+1≦4<a+2
2<a≦3
②より2a-1<4≦2a
2≦a<5
よって、2<a≦3

以上よりa=1, 1.5≦a<2, 2<a≦3

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

なかなか難しいです。
一見間違いないように読みましたが、

> 以上よりa=1, 1.5≦a<2, 2<a≦3

の一番右側の範囲が怪しいです。
　例）a=2.5のとき、区間は3.5≦x≦5より整数が２個
　例）a=3のとき、区間は4≦x≦6より整数が３個

議論のどこに穴がある？

お礼日時：2019/12/19 21:51

No.4 回答者： スチールウール 回答日時： 2019/12/19 23:45

一応、補足としてですが

0≦δ<1とする

[1]a=1+δとすると
a+1<x<2aより 2+δ≦x≦2+2δ。
[1-1]δ=0の時2≦x≦2となりx=2を満たす。
[1-2]δ≠0の時
2<2+δ<3よりx=3。
3≦2+2δより0.5≦δ(<1)。
つまりa=1+δより1.5≦a<2

[2]a=2+δとする。
[2-1]δ=0の時、3≦x≦4となりこれを満たすxは2つ存在する。よって不適
[2-2]δ≠0の時、a+1 = 3+δ≦xよりx=4
4≦2a<5より 4≦4+2δ<5。0≦δ<0.5
δ≠0と合わせて、0<δ<0.5となり、2<a=2+δ<2.5

[3]a≧3とする
2a-(a+1) = a-1≧2
よって、a+1と2aの間には必ず整数が2つ存在する (a+1+δ, a+2+δ; 0≦δ<1)ので、条件を満たすaは存在しない

以上よりa=1, 1.5≦a<2, 2<a<2.5

2aが整数になるか、ならないか、繰り上がるかどうかがポイントなので元々0.5刻みに考えても問題ないです
つまり、1,(1,1.5),1.5,(1.5,2.0),2.0,(2.0,2.5),2.5,(2.5,3.0),[3.0,∞)に場合分けするのも一つの手段

この回答へのお礼

２倍したときから上がるかどうか、という視点で、0.5刻みでの考察が必要なこと、そこから場合わけするといいことは、流れとして合理的であると感じてきました。ありがとうございました！

お礼日時：2019/12/20 08:19

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/12/19 23:41

グラフで見るとわかりやすいです。

連立不等式
y≦2x
y≧x+1
の表す領域内で、ｙの値が整数である点が1個であるようなｘの範囲を見つけます。

① x=1のとき、1個
② 1<x<1.5のとき、0個
③ 1.5≦x<2のとき、1個
④ x=2のとき、2個
⑤ 2<x<2.5のとき、1個
⑥ 2.5≦xのとき、2個以上

これより、求めるｘの範囲は、
x=1 , 1.5≦x<2 , 2<x<2.5

したがって、
a≧1 であるとき、不等式 a+1≦x≦2a を満たす整数がただ１つであるような定数aの範囲は、
a=1 , 1.5≦a<2 , 2<a<2.5
となります。

この回答へのお礼

グラフの利用は思いつかなかったです。
実際にグラフを書いてみました。
整数が１つふくむことを、y軸に並行な直線を動かして慎重見ていくと、確かに、答えの範囲になることがわかりました。

お礼日時：2019/12/20 08:09

No.2 回答者： スチールウール 回答日時： 2019/12/19 23:22

最後の方で間違っているようで混乱させてしまいすみません

[3]の中で
②より2a-1<4≦2a (ここまで正解)
2≦a<5/2 (2で割忘れていました)
よって、①②の計算結果より2<a<2.5

[1][2][3]の全ての区画がOKなので
a=1, 1.5≦a<2, 2<a<2.5

この回答へのお礼

最後が間違っていたんですね。
なるほど、すっきりしました。

お礼日時：2019/12/20 08:07