質問です。Re(z)>0をする満たす複素数zに対してガンマ関数Γ(z)についての計算です。 1 .

質問です。Re(z)>0をする満たす複素数zに対してガンマ関数Γ(z)についての計算です。
1 . Γ(1/2+1)

2 . Γ(d/2+1)

3. Γ((d+1)/2)

4. Γ((d-1)/2+1)

dはn=1,2,3,...,dとする。
お願いします。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/22 22:51

1.　Γ(1/2 + 1) = (1/2)Γ(1/2) = (1/2)√π.

準備として...
n が偶数のとき、n = 2k として
Γ(n/2) = Γ(k) = (k-1)! = (n/2 - 1)!.
n が奇数のとき、n = 2k+1 として
Γ(n/2) = Γ(k + 1/2) = (k - 1/2)(k - 3/2)…(3/2)(1/2)Γ(1/2)
= { (2k-1)!! / 2^k }√π = { (n-2)!! / √2^(n-1) }√π.

2.　Γ(d/2+1) = Γ( (d+2)/2 ) = ...
d が偶数のとき、 ... = (d/2)! ,
d が奇数のとき、 ... = { d!! / √2^(d+1) }√π.

3.　Γ( (d+1)/2 ) = ...
d が偶数のとき、 ... = { (d-1)!! / √2^d }√π,
d が奇数のとき、 ... = ( (d-1)/2 )! .

4.　Γ( (d-1)/2+1 ) = Γ( (d+1)/2 ) = 同上.