可換群ならば正規部分群は成り立ちますが、 正規部分群は可換群というのは成り立つのでしょうか？

可換群ならば正規部分群は成り立ちますが、
正規部分群は可換群というのは成り立つのでしょうか？

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/01/23 01:48

何言ってんのか、日本語が判りにくい。

＞可換群ならば正規部分群は成り立ちますが、
これは、可換群の部分群は正規部分群であることを言っているのだろうか。
それは常に成り立つ。
部分群が可換群ならば正規部分群だと言っているようにも読めるが、
それは成り立たない。
例えば、2次巡回群 C2 は3次対称群 S3 の可換な部分群だが、正規部分群ではない。

＞正規部分群は可換群というのは成り立つのでしょうか？
１行目を上のように解釈すると、それと文脈のつながる２行目の解釈は、
部分群が全て正規部分群ならもとの群は可換群だということになるだろうか？
それには反例がある。
ハミルトン四元数の虚数単位を i, j, k として 1, i, j, k が生成する８位の乗法群 Q8 は、
非可換だが、全ての部分群が可換な正規部分群になっている。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/01/23 09:04

あるいは、１行目はミスリーディングであって

2行目の意図は、単に
正規部分群は常に可換か？と言っているのだろうか。
それだと、１行目と話がつながらないけれど...

その場合、それは成り立たない。
反例として、５次交代群 A5 は５次対称群 S5 の
正規部分群だが、可換ではない。