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図形;奇数の正多角形の直径算出

奇数の正多角形(三角・五角・七角〜)の外接円の直径を求めたいのですが、

分かっている数値は角数と基点から一番遠い角までの距離。例えば三角形で言えば一辺の長さ、五角形なら一筆書きの星形の1画の長さ、など。

このとき、共通の計算式で角数と辺長を代入すると直径が答えになる計算式がありますか?

現実的には十五角形・二十七角形・四十五角形・九十五角形などの品物があり、対角に一番近い角までの寸法(例えば十五角形なら角1と角7(角8)までの長さ)から仮想の直径を知りたいと思っています。

過去に同様の問答があればそのurlだけでもよろしくご教示ください。

質問者からの補足コメント

  • 一行目の表現が変ですね。
    正しくは「奇数の正多角形の外接円の直径算出」です。

      補足日時:2020/01/26 22:11
  • 沢山のご教示、有難うございます。
    それぞれ私が理解できる範疇を超えていそうなので、別途検証の上改めてお礼申し上げます。

    で、やはり図があったほうが良さそうなので遅ればせながらフリーハンドで見にくいですが、添付します。図がいびつなのはご容赦下さい。

    「図形;奇数の正多角形の直径算出 奇数の正」の補足画像2
      補足日時:2020/01/27 00:23
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A 回答 (5件)

辺と中心を結ぶ2等辺三角形の底角はπ/2nより(中心角の半分が円周角でその半分だから)半径はa/2cos(π/2n)


直径は2倍の
a/cos(π/2n)
と思います

No.2 3行目X座標は -Rcos((2π/n)k) では
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この回答へのお礼

ご教示有難うございます。
最初見たすぐは、え?あれだけあれこれ悩んだ計算式って、
【長さ÷cos(π÷(2×角数))】だけで済むの?
と驚きましたが、実際の数字を代入して納得できました。
大変有難うございました。またよろしくお願い致します。

お礼日時:2020/01/27 22:04

訂正


1行目括弧の中
多角形一辺の中心角(2ぱい/n)に対する円周角(半分になる)の半分だから

No.2 で書いた式は座標の計算式があっているとして書いてしまいました。中も違うようです。マイナスになるのではという意味と読み取ってください。
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>ご教示の式は三角形の場合は当てはまりますが、問の内容が分かりにくいかもしれませんが、多角形の一辺の長さではなく、ある頂点から一番遠い頂点までの長さから外接円径を計算したいのです。



正直図が欲しいけど、とりあえず計算してみる。
n=2k+1(k:自然数)とする。

外接円の中心から正2k+1角形の頂点に直線を引いたとき、2k+1個等分割され、その中心角は2π/(2k+1)となる。

正2k+1角形から一番遠い角までの線は2本引ける。
その2本からなる円周角は中心角の半分になるため、π/(2k+1)となる。

次に、正2k+1角形から一番遠い角までの線2本と正2k+1角形の1辺からなる二等辺三角形を考える。
正2k+1角形から一番遠い角までの線の長さをL、正2k+1角形の1辺をaとすると、

sin(π/(2(2k+1)))=a/2L
a=2Lsin(π/(2(2k+1)))

No.1で回答した直径に代入すると、

D=2Lsin(π/(2(2k+1)))/sin(π/(2k+1))
=2Lsin(π/(2(2k+1)))/2sin(π/(2(2k+1)))cos(π/(2(2k+1)))
=L/cos(π/(2(2k+1)))

ゆえに、D=L/cos(π/(2(2k+1)))
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この回答へのお礼

ご教示有難うございます。
最初の質問の際に図も提示できず、文言も不確かでご迷惑をおかけいたしました。
最終的にNo.3のyos1912さんの式と同じになる事を理解させて頂くにあたり、お教え頂いた計算過程がとても参考になりました。
大変有難うございました。おそれいりますがタッチの差でベストアンサーはyos1912さんにさせていただきますが、またよろしくお願い致します。

お礼日時:2020/01/27 22:05

外接円半径が R である正 n 角形( n = 2k+1, k は自然数 )の


重心が (0,0)、「ある頂点」が (R,0) になるように座標系をとります。
「一番遠い頂点」の座標は (Rcos((2π/n)k),Rsin((2π/n)k)) ですね。 ←[1]
この2点間の距離 L が与えれれているとすると
L^2 = (Rcos((2π/n)k) - R)^2 + (Rsin((2π/n)k))^2 ですから、
式を変形して R = L/√{ 2 - 2cos((2π/n)k) }
= L/√{ 2 - 2cos(π(n-1)/n) } が得られます。
[1]の事実は、円に内接する正多角形の図を描いて見つけましょう。
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この回答へのお礼

ご教示有難うございます。
たどたどしくx-y座標の画を描いたりしましたが、残念ながら小生の理解力では解決まで到りませんでした。
ただしお教え頂いた計算過程はとても参考になりました。有難うございました。またよろしくお願い致します。

お礼日時:2020/01/27 22:02

正n角形の一辺の長さをa、外接円の半径をRとすると、



R=a/(2sin(π/n))

で表せる。
外接円の直径は半径を2倍すればいいので、直径をDとすると、

D=2R=a/sin(π/n)

となる。
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この回答へのお礼

早速の回答有難うございます。

ご教示の式は三角形の場合は当てはまりますが、問の内容が分かりにくいかもしれませんが、多角形の一辺の長さではなく、ある頂点から一番遠い頂点までの長さから外接円径を計算したいのです。

引き続き宜しくお願い致します。

お礼日時:2020/01/26 22:26

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