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No.1ベストアンサー
- 回答日時:
二項定理を使うのが、二項係数の定義にもとづく直接計算だと思うがなあ。
他の計算というなら、n についての数学的帰納法はどうか。
パスカルの三角形
C(n,k) + C(n,k+1) = n!/( k! (n-k)! ) + n!/( (k+1)! (n-(k+1))! )
= { n!/( (k+1)! (n-k)! ) }{ (k+1) + (n-k) }
= { n!/( (k+1)! (n-k)! ) }(n+1)
= (n+1)!/( (k+1)! (n-k)! )
= C(n+1,k+1).
を k = 0,1,2,...,n-1 で Σして
∑ [k = 0 to n-1] C(n+1, k+1) = ∑ [k = 0 to n-1] C(n,k) + ∑ [k = 0 to n-1] C(n,k+1)
= { ∑ [k = 0 to n] C(n,k) - C(n,n) } + { ∑ [k = 0 to n] C(n,k+1) - C(n,0) }
= { 2^n - 1 } + { 2^n - 1 }
= 2^(n+1) - 2.
これを使って
∑ [k = 0 to n+1] C(n+1, k) = ∑ [r = -1 to n] C(n+1, r+1)
= ∑ [r = 0 to n-1] C(n+1, r+1) + C(n+1,0) + C(n+1,n+1)
= { 2^(n+1) - 2} + 1 + 1
= 2^(n+1).
これに n = 1 のときの
∑ [k = 0 to 1] C(1, k) = C(1,0) + C(1,1) = 1 + 1 = 2^1
を添えれば、数学的帰納法が完成する。
この回答へのお礼
お礼日時:2020/02/14 17:30
ありがとうございました。
まずは直接計算の定義を考えるべきだったかもしれません。
∑ [k = 1 to n] k = n は直接計算していないように思えます。
No.3
- 回答日時:
二項係数をパスカルの三角形を使って表すと、図のようになる。
パスカルの三角形の2行目の合計は 1+1=2
3行目の二項係数の合計は 1+2+1=4
4行目の二項係数の合計は 1+3+3+1=8
質問は、これらの式が成立して、n行目の合計が2^nとなることを証明せよです。
パスカルの三角形において、二項係数は、第n行の隣り合う二つの二項係数を、矢印に従って集めてたした数が第n+1行の二項係数として作り出される。
そこで、第n行から左下に向いた矢印↙に従って集めた数の合計と第n行から右下に向いた矢印↘に従って集めた数の合計をたすと、第n+1行の二項係数の合計になる。
第n行から左下に向いた矢印↙に従って集めた数の合計は2^nである。
第n行から右下に向いた矢印↘に従って集めた数の合計は2^nである。
よって第n+1行の二項係数の合計は2^(n+1)である。
この証明を数式を使って行ったのがNo.1回答です。
![「二項係数の和で、二項定理を使わない証明」の回答画像3](http://oshiete.xgoo.jp/_/bucket/oshietegoo/images/media/4/542555947_5e457f2979d05/M.png)
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