完全不連結と連結の積空間の連結成分

位相空間論について教えてください。

Γを完全不連結空間、Λを連結空間とします。
このとき積空間Γ×Λの連結成分((包含関係において)極大な連結部分集合)が、
任意のx∈Γに対して{x}×Λとなる、らしいのですが、
これをどう証明するのかが分かりません。

どのように証明するのか、教えてください。お願いします。

質問者からの補足コメント

• とても詳しく、ありがとうございます！
  おかげさまでおおよそ理解することができました！
  ただ、初歩的なことで申し訳ないのですが、分からないことがあります。
  {x}×Λが連結であることを証明する際の、π_2が同相写像であることと、
  {x}×Λが極大連結部分集合（連結成分）であることを証明する際の、π_1が連続であることです。
  π_2が全単射であることは、全射と単射の定義にしたがえば示せるのは分かります。
  ですが、連続性の証明に私が慣れていないのか、連続であることがピンと来ません。
  例えばπ_2であれば、Λの開集合をUとして、(π_2)^-1(U)が開集合である、というのが連続性の定義だと思いますが、
  それ以前に積位相の定義から、全ての射影が連続であるような位相を入れてるからπ_2、π_1は連続である、ということで良いのでしょうか？
  
  理解力不足ですみませんが、お願いします。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/02/16 22:22

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/02/17 05:44

x∈Γ

第2成分への射影写像
π_2:{x}×Λ→Λ
π_2(x,y)=y
は全単射
Λの開集合をUとすると
(π_2)^(-1)(U)={x}×U
は{x}×Λの開集合だから
π_2は連続である
それ以前に積位相の定義から、
全ての射影が連続であるような位相を入れてるからπ_2は連続である
どちらでもよいです
{x}×Λの開集合をVとすると
V={x}×π_2(V)
π_2は開写像だから
π_2(V)はΛの開集合だから
逆写像
(π_2)^(-1):Λ→{x}×Λ
も連続だから
π_2は同相写像だから
Λは連結だから
{x}×Λは連結

M⊂Γ×Λ
Mは連結とすると
M=φならばM=φ⊂{x}×Λとなる
M≠φならば
(x,y)∈Mとなる(x∈Γ,y∈Λ)がある
第1成分への射影写像
π_1:Γ×Λ→Γ
積位相の定義から、
全ての射影が連続であるような位相を入れてるから
π_1は連続である
連結集合Mの連続写像π_1の像π_1(M)は連結で
{x}⊂π_1(M)⊂Γ
(空集合か1点集合しか連結部分集合がないものを完全不連結といい)
Γは完全不連結だから
{x}=π_1(M)
だから
M⊂{x}×Λ
∴
Γ×Λの任意の連結部分集合は{x}×Λに含まれるから
Γ×Λの連結成分は
任意のx∈Γに対して{x}×Λとなる

この回答へのお礼

懇切丁寧にありがとうございます！
ようやく理解できました。
積位相の定義だけでない証明もしっかり勉強しておきます！

お礼日時：2020/02/17 20:51

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/02/16 20:16

x∈Γ

第2成分への射影写像
π_2:{x}×Λ→Λ
π_2(x,y)=y
は同相写像で
Λは連結だから
{x}×Λは連結

M⊂Γ×Λ
Mは連結とすると
M=φならばM=φ⊂{x}×Λとなる
M≠φならば
(x,y)∈Mとなる(x∈Γ,y∈Λ)がある
第1成分への射影写像
π_1:Γ×Λ→Γ
は連続
連結集合Mの連続写像π_1の像π_1(M)は連結で
{x}⊂π_1(M)⊂Γ
(空集合か1点集合しか連結部分集合がないものを完全不連結といい)
Γは完全不連結だから
{x}=π_1(M)
だから
M⊂{x}×Λ
∴
Γ×Λの任意の連結部分集合は{x}×Λに含まれるから
Γ×Λの連結成分は
任意のx∈Γに対して{x}×Λとなる