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自分の視点を中心として、そこからある一定の距離(半径)をとり、同心円状にある物体を隙間なく並べます。
その一個の物体の幅は、自分の視点から見て視角10度とします。

この物体を、その同心円上に隙間なく並べると、36個(10度×36=360度)並びます。
そこで、自分の視点とその物体の間に凸レンズを置きます。

このレンズは、自分の頭とつながって固定されていて、視点の動きとともに一緒に動きます。
このレンズと対象物、レンズと視点の間の距離は常に一定で、このレンズは対象物を2倍の視角に拡大する能力を持っています。
レンズを通して、この物体を見ると一個の物体の視角は20度となります。

そのまま、ぐるりと一周しながら、レンズを通してこの物体を見ると一個の物体の幅の視角は20度ですから、36個全部の物体を見るためには、20度×36個=720度、即ち2周、回らなければなりません????。


レンズによる拡大の程度は、常に視角で評価することにして、(別に2倍でなくても拡大さえすれば何倍でもかまいません。)幅の長さでは評価しないことにします。

長さで評価すると、レンズが動くときに拡大した分だけ対象物が速く動くから常に360度の中に収まるということになりますが、視角で評価すると対象物の動く速さは関係なく、常に(?)(対象物の視角)×(個数)分の角度、まわらなければなりません。

どこが間違っていますか。

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A 回答 (15件中1~10件)

#8で回答した者です。



まずは補足の回答から。
直接見ると1度分の視野角しかない物体を、100度分の視野角に広げてくれるので、大きく見ることができるのです。

ひとつ思考実験をしましょう。
1つの幅が1mmになるように10個の数字を書いた物を用意します。
|01|02|03|04|05|06|07|08|09|10|
1mmが10個ですから、01の左端から10の右端までは10mmあります。
これをあなたの目から、半径1mの円弧を描くように設置します。
1つの数字は、非常に小さな視野角内に収まります(計算すると0.0573度ですね)。
まずは真ん中の|05|06|の2つの数字を見つめることにしましょう。
ここで、レンズを目と数字の間に置き、数字の大きさが2倍になるようにします。
あなたには、2倍に大きくなった
| 0 5 | 0 6 |
が見えます(そのように設置したのですから当然ですが)。
それはレンズが無い状態で
|04|05|06|07|
の4個分の数字を見ていた視野角と同じです。
2倍にすると言うことは、レンズがなければ4個の数字が見えていたはずの視野角に、2つの数字しか見えなくなっていると言うことです。見える数字の個数が減ると言うことは、見ている視野が狭くなっていることを意味していますよね。
「自分のその対象に対する視野は100分の一になっていると考えてよいのでしょうか」というご質問には「YES」という回答が正しいことが理解いただけるでしょうか?

そうすると、レンズが無ければ|04|のあった視野角まで|05|がはみ出しているように思えますよね?もちろん、|06|も|07|の視野角まで、はみ出しているように思えます。
本当にはみ出ているのでしょうか?
これは、もう一つレンズを用意すればわかります。
同じ様に|03|04|を2倍に拡大するとします。
前回の回答で、レンズの中心は、目と「 03|04 」の中央の棒の、間に来る必要があることがわかっていただけていると思います。
ところで、レンズの大きさはどのぐらいでしょうか?
当然、レンズの大きさは最低でも視野角分は必要です。
この場合だと数字4つ分です。
新しいレンズは|03|04|を2倍に拡大するために
|02|03|04|05|
の4つ分の視野角に相当する大きさが必要です。
もちろん、さっきのレンズも
|04|05|06|07|
の4つ分の視野角に相当する大きさがあります。
つまり、レンズ同士はぶつかってしまい、同時には拡大できないことがわかり、はみ出していることが証明されます。
もちろん、もっと大きな拡大を考えて、例えば100倍に拡大したとすると、数字の無い左右両側にはみ出なければ100倍の拡大になりませんよね。
倍率には関係なく、目に映る虚像は、はみ出ていることがわかります。

はみ出ているにもかかわらず、どうして1つのレンズで、レンズと目を動かす場合は映像が重ならないのでしょうか?
これがもともとの疑問になったのだと思います。
多くの回答が来ていますので、もう、ご自分で想像できると思いますがいかがですか?

レンズの役目は、小さな視野角しか得られない物体が四方八方に散らしている光をレンズの大きさ分だけ集めて、目に届けているだけです。

長くなりますので、この辺でとめます。
必要なら補足をご記入ください。

この回答への補足

いろいろ考えてみたのですが、まだどうも考えがまとまりません。
今回は、一旦この質問を閉じて、質問の内容がまとまったら、改めて新たな質問をさせていただきたいと思います。
この場をお借りして、ご回答いただいた方にお礼申し上げます。

補足日時:2001/08/17 21:11
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この回答へのお礼

再度のご回答ありがとうございます。
そろそろ締めようと思っていたのですが、この回答を見て、もう少し考えてから締めることにしました。
また、補足をさせていただくかもしれませんのでよろしくお願いします。

お礼日時:2001/08/09 23:26

>双眼鏡を覗いて考えてみたのですが、ある対象物を見ながら双眼鏡を


>目に接した状態から徐々に離していくと、対象物の大きさは変わりま
>せんが、見える範囲はだんだん狭くなっていきます。

「対象物の大きさは変わりませんが」ということは視角が変わっていな
いということです。

>離してみるとレンズと網膜との間の距離が離れるため、対象物は一部
>分しか見えなくなります。

こちらは視野(視界)が狭くなったということですよね。対象物の視角
とは別の問題だと思います。


双眼鏡をお持ちであれば、片目は肉眼で、もう一方は双眼鏡を通して、
同じ物をご覧になってはどうでしょうか。双眼鏡をうまく動かせば、
重なった状態で見えますが、視角(=見かけの大きさ)の違いが明らか
に分かることと思います。

これは網膜というスクリーンに映っている像(道具を使えば他人がのぞき
見ることができるでしょう)の絶対的な大きさが違うということです。
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この回答へのお礼

何度もご回答を頂き、ありがとうございました。感謝いたします。
もう少し、自分なりに考えてみます。

お礼日時:2001/08/09 23:13

私のだめ回答の方は管理者の方が削除してくれたようですね。



双眼鏡のケースでまだ霧がかかっているようなのでだめ押しを。

双眼鏡の場合は凸レンズ1個の場合とちょっと異なります。
望遠タイプでは必ずレンズが2枚必要になり、その構成が大きく分けて、凸レンズが2枚の場合と、凸レンズと凹レンズの組み合わせの場合の二通りありますが、簡単な凸レンズ2枚の場合で考えましょう。

で、この2枚のレンズ間の距離Lが2枚のレンズのそれぞれの焦点距離fa,fbと一定の関係にあります。
L=fa+fb(厳密には物体の距離に応じてこの距離は多少長くなります)
更に、いま物体側のレンズaの焦点距離faと接眼側のレンズbの焦点距離fbとの関係がfa=βfbであるとき、この望遠鏡の倍率はβ倍になります。
ご質問のケースだとβ=2ですね。

前回の凸レンズ1つの場合では、視角を考えるための基準となる主点がレンズ側に移るために起きていました。
今回の場合は2枚の望遠鏡のレンズによって視角の変換が起こります。
つまり、物体からレンズaに角度θで入射した光は、レンズbより角度βxθで出射されます。
これにより、本来ならば角度θの視角しか無かった物体の像がβ倍の視角で見えるので大きく見えます。

この場合も結局は、レンズaもとの観察した角度θの基準点は望遠鏡なので、これを動かしてしまうと凸レンズ一つの時と同じことが起きるのはおわかりになると思います。

最後に蛇足ですが、人間の目のレンズを含む光学系を考える場合は、人間の目の焦点位置は無限遠にして考えます。
これは人間の目が、レンズを通してみると無限遠になるためです。但し近視の人は無限遠に出来ないので、双眼鏡、カメラなどでは接眼部分で補正しないといけません。
(双眼鏡はピント機構があるので、その分ピントをずらしてあげるとうまく行きますが)

望遠鏡がなぜ視角の変換機能があるのかは、図を書いてみるとよくわかります。
望遠鏡の内部には、レンズa,bの焦点面が存在します。角度θでレンズaから入った光はレンズaの主点を通り、距離faで焦点を結び点になります。こんどはその点aを起点として焦点距離fbでレンズbの主点を通ります。
このときに、同じ焦点の点に対して主点までの距離はfa,fbで異なります。だから角度も異なるわけです。

では。
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この回答へのお礼

専門的なご回答をありがとうございました。
まだ、十分理解できていない点があるので自分でもう少し考えてみたいと思います。

お礼日時:2001/08/09 23:09

おや、霧が晴れてきましたか。

だったら読まない方がいいかも知れませ
んが、書いてしまったので載せます。


望遠鏡で対象物の視角が大きく見えるのは「錯覚」なのでしょうか。
この点について以下に説明します。

2倍の望遠鏡というのは、つまるところ、網膜上の像の大きさを2倍に
する道具です。これを人間の感覚の方から言えば、見かけの大きさが2
倍になった、視角が2倍になった、となります。

2倍の望遠鏡は距離を1/2にする、という表現がありますが、これは
単なるたとえであって、しかも静的な状況でしか通用しません。体を動
かしてしまうような場面では、この説明を使ってはいけないのです。
対象物が立体の場合もまずいですね。

天体望遠鏡で木星をご覧になったことがあるでしょうか。肉眼では点に
しか見えないものが、200倍の望遠鏡をのぞけば円盤状に見え、しか
も模様まで見ることができます。これは錯覚などで説明できるような差
ではありません。結局、網膜上の木星の像が200倍になっているとい
うことなのです。これを「視角が200倍になった」と表現するのです。

しかし、2倍の望遠鏡で視角が2倍になるというのは人間の感覚上の
問題だから、「錯覚」と呼べるのではないか....これも誤りです。
網膜上で像を2倍にするためには、水晶体に入ってくる光が2倍の角度
に開いていなければなりません。ですから光学上の視角も2倍なのです。
望遠鏡はそういう働きをしているのです。

このように、光学上の視角と感覚上の視角(網膜上の像の大きさによる)
は一致するので、普通は光学的な説明だけでよしとするのです。


では、質問の例に戻りましょう。

肉眼で視角10度の物体は、網膜上で2ミリの像を作るとします。2倍の
望遠鏡を通すとこれが4ミリの像になり、視角としては20度です。望遠
鏡をつけたまま首を毎秒10度で回していくと、網膜上の像は毎秒4ミリ
で動いていくことになります(毎秒1個分動かなければなりませんから)。
これは「望遠鏡内の像が毎秒20度で動いていった」と表現することがで
きます。

1周分の望遠鏡内の像を足すと720度で、2周になってしまうではない
か、というのは意味のない議論のように思います。望遠鏡内の像の実体は
網膜上の像なのです。720度分が同時に網膜上に映ることはないのです
から、まとめて考える必要はないでしょう。

この回答への補足

再度のご回答ありがとうございます。
またまた、霧がかかってきました。

双眼鏡を覗いて考えてみたのですが、ある対象物を見ながら双眼鏡を目に接した状態から徐々に離していくと、対象物の大きさは変わりませんが、見える範囲はだんだん狭くなっていきます。

普段、望遠鏡や双眼鏡を覗くときは接眼レンズをほとんど目に接した状態で見ますから、望遠鏡のレンズで作られた視角が、ほぼそのまま眼の中に入ってきて、あたかも網膜上に200倍の視角が得られたように感じますが、離してみるとレンズと網膜との間の距離が離れるため、対象物は一部分しか見えなくなります。

レンズを覗いたときは視角の基準点がレンズに移動し、網膜上に入る視角は常に一定であると考えたほうがよいと思うのですが。

補足日時:2001/08/08 07:56
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まず、実体験出来る方法としては、
・カメラ(f=100mmが大体視野角2倍程度でしょう)
/> ・ビデオカメラ
・双眼鏡
・望遠鏡
などなどあります。
倍率が高いとよく手ぶれがおきやすくなるのは、自分とカメラの動きに対して視野内の像の動きが倍率分だけ早くなるためです)

さて、どのように説明したら良いのかについて考えてみました。
最も考えやすいのは十分大きい凸レンズが一枚あり、目のレンズ位置(正確には主点位置=レンズの中央で近似してかまいません)と凸レンズ位置(主点位置)の距離が、凸レンズ位置(主点位置)と物体までの距離と等しい場合で、かつレンズの焦点距離がレンズ位置(主点位置)と物体までの距離に等しい場合です。

この場合の作図は(ちょっと近似的ですが)、
レンズの主点位置から物体の両側までそれぞれ線を引きます。
次に目の主点位置を通り、かつ上の2本の線に平行な線を引きます。
この線の角度は約±10度(つまり視野角20度)になっていると思います。
これが、物体が視角20度で見えるという意味です。

自分の目の光軸が10度回転したとします。(頭を10度回転させると言うことですね)
このときにはレンズも一緒に回転させるわけですから、光軸自体は10度しかずれません。
なので360度で一蹴します。

では見えている像はどうなるのか。よくよく考えてみて下さい。レンズは目と物体の中間にあり、レンズは物体に対して位置がずれています。
つまり、単に角度の問題ではなくて、レンズの位置自身がずれたためにその分視野角の移動以上に像は移動します。
ここを考えないと視野角のつじつま合わせの計算では成立しなくなってしまうわけです。
これがパラドックスの正体となります。

これをもう一度おさらいすると、
1)レンズがないときには、視野角は目のレンズの主点位置を基準として視野角が決まる。
2)しかし、レンズがあるときには、レンズの主点位置を基準点として視野角が決まる。
 (視野角を考えるための基準点がレンズに移動する)
3)目とレンズが同時に移動すると、目の見ている中心が移動するだけでなく、視野角の基準点自体が回転移動してしまうので、目に映る像の移動量は、単に視野が回転したとき以上に移動する。

初めの説明で混乱していたらごめんなさい。言葉で説明するのは難しいですね。
では。

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この回答へのお礼

ご丁寧な回答をありがとうございました。「視野角の基準点自体が回転移動」という言葉で霧が晴れた感じです。

それはさておき、
???確か、夕方覗いたときは、少し違った文章だったような気がするのですが。
確かに、No11の回答が消えているし、私の認識では、一度投稿するとよほどの理由がない限り回答を消せないと思っていましたが、なにかからくりがあるのでしょうか。凸レンズの謎より興味深いですね。

お礼日時:2001/08/08 00:00

 もし、あなたが、大学生なら、物理実験室には十字線つき望遠鏡があります。

それをお借りして、その望遠鏡を覗いて、その十字線を物体の端Aから端Bまで動かしたときに(これは像を見ています)、望遠鏡も端Aから端Bまで移動しています(これは望遠鏡の上から物体を見ています)。

望遠鏡を物体の端Aに向けた時は、望遠鏡を覗いて見えも端Aが見えます。また、端Bに向けた時は、望遠鏡を覗いて見えも端Bが見えます。
 このとき、あなたが言われるように、望遠鏡を覗いた時に、端Bではなく、物体の中点が見えてはいません、あくまで、端Bが見えます。

もしかして、あなたは頭だけで考えてはいませんか? 物理では、必ず、実験しないと理解できないこともあります。観察、実験は必須です。是非、実験して確かめて下さい。
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この回答へのお礼

何回も回答をしていただきありがとうございました。
常識的に考えると、途中にレンズを置いても視角が変わるわけがないと思っていましたが、実際にレンズを覗くと、明らかに視点からの角度が増大しているように見えるので、それをどう説明したらよいのか悩んでいました。
皆さんの回答で、わかってきたのは20度というレンズを通した視角は仮想的なもので、対象物に対する視角はあくまで10度まま変わらず、レンズの先の視角の広がりはその起点が自分の視点にはないということです。
また、わからないことがあったら教えて下さい。

お礼日時:2001/08/07 23:52

凸レンズだと実際は話がややこしくなりますので、極めてコンパクトな


倍率2倍の望遠鏡、とさせてください。

最初に確認しておきますが、
倍率2倍の望遠鏡
=視角を2倍にする望遠鏡
=見かけの距離を1/2にする望遠鏡
となります。どれも同等のものです。

結論を言ってしまうと、「720度を2倍の速さで動くから」でもいいし、
「視野中央の点は360度しか動かない」でもいいですね。
両方ともいい、とはどういうことか具体的に見てみましょう。

36個の物体に番号をつけます。今、正面にあるものを1、右に向かって
36番まで、番号を振っておきます。それぞれの物体のど真ん中に印でも
付けておきましょう。

望遠鏡はワンタッチで着脱できるとして、まず、脱いだときの視野の中央
に1番の印が見えるよう体を向けます。次に望遠鏡をつけてやはり視野の
中央に見えるようにします。すばやく着脱を繰り返したときに印が重なっ
て見えるまで調整を行います。

この位置ではどう見えるでしょうか。裸眼では1番の物体は視角10度で
見えています。望遠鏡では20度です。すばやく着脱すると、裸眼での2
番の印と望遠鏡での1番の右端が重なって見えます(10度右の視野)。

では裸眼の3番の印はというと、望遠鏡の2番の印と重なります(20度
右の視野)。

ここで毎秒10度の速さで首を右に動かします。1秒後、裸眼では2番の
印が中央に見えます。望遠鏡では...やはり2番の印です。これはずれ
る要素がないから当たり前だと考えてもいいし、レンズの中央の点は極限
的には平面だからという説明でもいいでしょう。

これは36番までやっても同じことですから、この点に注目すると「望遠
鏡視野中央の点は1回転で360度しか動かない」となります。

望遠鏡内の視野の動きに注目しましょう。1秒後に2番の印が視野中央に
来たのでした。では一番始めの時点を振りかえってみると、2番の印は
20度右に見えていました。これは、毎秒20度の速さで望遠鏡内の視野
が動いていった、と言わざるを得ません。

2番の物体から先に続けていってもこれは同じことで、ある瞬間に望遠鏡の
中央に見えたものは、1秒前に20度右に見えていたものです。1回転する
のに36秒かかりますから、36×20=720度視野が動いたことになり
ます。これを強調すると「望遠鏡内の視野は720度を2倍の速さで動く」
という説明になります。

この回答への補足

レンズを通して一番の物体を見ているとき、視点とその物体の両端を結ぶ直線が、自分の視点でつくる角度が20度です。次に,頭を10度動かして二番を見たとき、やはり二番の両端とは20度の角度をつくっています。一番と二番の物体は,見ている限り決して重なる事はありませんから、レンズの中の対象物が毎秒20度で動きつづけると、毎秒10度の頭の動きとはどんどんずれていってしまいます。実際には、同時に動くわけですから、レンズの中の対象物も毎秒10度で動いていると考えざるを得ないように思いますが。

補足日時:2001/08/07 14:34
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
皆さんの回答で、ようやく理解できた感じです。

お礼日時:2001/08/08 00:02

絵が描ければ楽なのですが。



10度ずつの視野角を占めている36個の物体に、1番から36番まで番号を付けます。
今、あなたはレンズ無しで1番の物体の中央を見ているとします。
あなたの視野角を10度に制限すると、あなたは1番の物体しか見ることができません。
ここで、「視野角が2倍になるレンズ」を付けたとします。
こんどは、あなたは、1番の物体の中心から5度分の幅しか見ることはできません。1番の物体の左右端は見えないのです。
ただし、5度分の幅を視野角10度で見ているので、2倍に拡大されたように見えるのです。

つまり、視野角2倍のレンズの働きは、2倍の角度分の光を「集めている」にすぎません。

レンズを付けたまま頭を動かして、2番の物体を見ましょう。
2番の物体の中心を視野の中心に入れるには、頭を10度動かすことになります。
レンズとは関係無く、見たい物を見るためには、物の角度の分だけ視線を動かさなければなりません。一周360度を見るには、頭も360度動かさなければなりません。
視野の中心だけを考えれば、レンズを通して見た映像が、通常の2倍の速さで動くこともありません。
レンズの本当の中心(点)は、ただの平行板ガラス(ふくらんでいない)と言う考えもできます。

説明がつたないですが、720度動くという考えが間違いだということがわかっていただけるでしょうか?

この回答への補足

ひとつ教えていただきたいのですが、視角を二倍にするレンズで見た時には、自分の視野は二分の一になる、ということは倍率100倍の望遠鏡で何かの対象を見た時には、自分のその対象に対する視野は100分の一になっていると考えてよいのでしょうか。

補足日時:2001/08/07 14:27
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

お礼日時:2001/08/08 00:08

「視角を倍にするレンズ」の定義から、360度を見渡すのには720度必要になるはずですが、


「視角を倍にするレンズ」だからといって「その物体までの見かけの距離をおおよそ半分にするレンズ」を考えてしまうと
このレンズでは360度を見渡すには360度見れば良いので、両者を区別して考えないといけないのではないでしょうか?

「視角を倍にするレンズ」と「その物体までの見かけの距離をおおよそ半分にするレンズ」が違うことに気付いていないことが
パラドックスの原因ではないでしょうか?

この回答への補足

凸レンズが視角を増やしていると考えると、どうしても矛盾が出るような気がします。凸レンズが本当に視角を増やす事が出来るのか、というのが私の基本的な疑問です。

補足日時:2001/08/07 14:50
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

お礼日時:2001/08/08 00:10

>頭を10度、回転しているうちに、


>レンズの中の像が20度回転すると、
>レンズの中の像はどんどん先に行って、
>見えなくなってしまいませんか。

頭が10度回転する時に、レンズの中の像は20度回転していますので、先に行くことはありません。レンズを通してみる像は2倍のスピードで移動しています。
同じスピードなら、どんどん先にいくでしょうが・・・

この回答への補足

どうしても疑問なのですが、今同心円を考えていますので、毎秒動く角度は頭も,レンズの中の対象物も同じでなければ、ずれていってしまうのではないでしょうか。

補足日時:2001/08/07 15:01
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