凸レンズのパラドクス

自分の視点を中心として、そこからある一定の距離（半径）をとり、同心円状にある物体を隙間なく並べます。
その一個の物体の幅は、自分の視点から見て視角１０度とします。

この物体を、その同心円上に隙間なく並べると、３６個（１０度×３６＝３６０度）並びます。
そこで、自分の視点とその物体の間に凸レンズを置きます。

このレンズは、自分の頭とつながって固定されていて、視点の動きとともに一緒に動きます。
このレンズと対象物、レンズと視点の間の距離は常に一定で、このレンズは対象物を２倍の視角に拡大する能力を持っています。
レンズを通して、この物体を見ると一個の物体の視角は２０度となります。

そのまま、ぐるりと一周しながら、レンズを通してこの物体を見ると一個の物体の幅の視角は２０度ですから、３６個全部の物体を見るためには、２０度×３６個＝７２０度、即ち２周、回らなければなりません？？？？。


レンズによる拡大の程度は、常に視角で評価することにして、（別に２倍でなくても拡大さえすれば何倍でもかまいません。）幅の長さでは評価しないことにします。

長さで評価すると、レンズが動くときに拡大した分だけ対象物が速く動くから常に３６０度の中に収まるということになりますが、視角で評価すると対象物の動く速さは関係なく、常に（？）（対象物の視角）×（個数）分の角度、まわらなければなりません。

どこが間違っていますか。

No.11 ベストアンサー 回答者： noname#11476 回答日時： 2001/08/07 18:14

<br /> まず、実体験出来る方法としては、 <br /> ・カメラ（f=100mmが大体視野角２倍程度でしょう） <br

/> ・双眼鏡
・望遠鏡
などなどあります。
倍率が高いとよく手ぶれがおきやすくなるのは、自分とカメラの動きに対して視野内の像の動きが倍率分だけ早くなるためです）

さて、どのように説明したら良いのかについて考えてみました。
最も考えやすいのは十分大きい凸レンズが一枚あり、目のレンズ位置（正確には主点位置＝レンズの中央で近似してかまいません）と凸レンズ位置（主点位置）の距離が、凸レンズ位置（主点位置）と物体までの距離と等しい場合で、かつレンズの焦点距離がレンズ位置（主点位置）と物体までの距離に等しい場合です。

この場合の作図は（ちょっと近似的ですが）、
レンズの主点位置から物体の両側までそれぞれ線を引きます。
次に目の主点位置を通り、かつ上の２本の線に平行な線を引きます。
この線の角度は約±１０度（つまり視野角２０度）になっていると思います。
これが、物体が視角２０度で見えるという意味です。

自分の目の光軸が１０度回転したとします。（頭を１０度回転させると言うことですね）
このときにはレンズも一緒に回転させるわけですから、光軸自体は１０度しかずれません。
なので３６０度で一蹴します。

では見えている像はどうなるのか。よくよく考えてみて下さい。レンズは目と物体の中間にあり、レンズは物体に対して位置がずれています。
つまり、単に角度の問題ではなくて、レンズの位置自身がずれたためにその分視野角の移動以上に像は移動します。
ここを考えないと視野角のつじつま合わせの計算では成立しなくなってしまうわけです。
これがパラドックスの正体となります。

これをもう一度おさらいすると、
１）レンズがないときには、視野角は目のレンズの主点位置を基準として視野角が決まる。
２）しかし、レンズがあるときには、レンズの主点位置を基準点として視野角が決まる。
　（視野角を考えるための基準点がレンズに移動する）
３）目とレンズが同時に移動すると、目の見ている中心が移動するだけでなく、視野角の基準点自体が回転移動してしまうので、目に映る像の移動量は、単に視野が回転したとき以上に移動する。

初めの説明で混乱していたらごめんなさい。言葉で説明するのは難しいですね。
では。

この回答へのお礼

ご丁寧な回答をありがとうございました。「視野角の基準点自体が回転移動」という言葉で霧が晴れた感じです。

それはさておき、
？？？確か、夕方覗いたときは、少し違った文章だったような気がするのですが。
確かに、No11の回答が消えているし、私の認識では、一度投稿するとよほどの理由がない限り回答を消せないと思っていましたが、なにかからくりがあるのでしょうか。凸レンズの謎より興味深いですね。

お礼日時：2001/08/08 00:00

No.12 回答者： redbean 回答日時： 2001/08/08 00:55

おや、霧が晴れてきましたか。

だったら読まない方がいいかも知れませ
んが、書いてしまったので載せます。


望遠鏡で対象物の視角が大きく見えるのは「錯覚」なのでしょうか。
この点について以下に説明します。

２倍の望遠鏡というのは、つまるところ、網膜上の像の大きさを２倍に
する道具です。これを人間の感覚の方から言えば、見かけの大きさが２
倍になった、視角が２倍になった、となります。

２倍の望遠鏡は距離を１／２にする、という表現がありますが、これは
単なるたとえであって、しかも静的な状況でしか通用しません。体を動
かしてしまうような場面では、この説明を使ってはいけないのです。
対象物が立体の場合もまずいですね。

天体望遠鏡で木星をご覧になったことがあるでしょうか。肉眼では点に
しか見えないものが、２００倍の望遠鏡をのぞけば円盤状に見え、しか
も模様まで見ることができます。これは錯覚などで説明できるような差
ではありません。結局、網膜上の木星の像が２００倍になっているとい
うことなのです。これを「視角が２００倍になった」と表現するのです。

しかし、２倍の望遠鏡で視角が２倍になるというのは人間の感覚上の
問題だから、「錯覚」と呼べるのではないか．．．．これも誤りです。
網膜上で像を２倍にするためには、水晶体に入ってくる光が２倍の角度
に開いていなければなりません。ですから光学上の視角も２倍なのです。
望遠鏡はそういう働きをしているのです。

このように、光学上の視角と感覚上の視角（網膜上の像の大きさによる）
は一致するので、普通は光学的な説明だけでよしとするのです。


では、質問の例に戻りましょう。

肉眼で視角１０度の物体は、網膜上で２ミリの像を作るとします。２倍の
望遠鏡を通すとこれが４ミリの像になり、視角としては２０度です。望遠
鏡をつけたまま首を毎秒１０度で回していくと、網膜上の像は毎秒４ミリ
で動いていくことになります（毎秒１個分動かなければなりませんから）。
これは「望遠鏡内の像が毎秒２０度で動いていった」と表現することがで
きます。

１周分の望遠鏡内の像を足すと７２０度で、２周になってしまうではない
か、というのは意味のない議論のように思います。望遠鏡内の像の実体は
網膜上の像なのです。７２０度分が同時に網膜上に映ることはないのです
から、まとめて考える必要はないでしょう。

この回答への補足

再度のご回答ありがとうございます。
またまた、霧がかかってきました。

双眼鏡を覗いて考えてみたのですが、ある対象物を見ながら双眼鏡を目に接した状態から徐々に離していくと、対象物の大きさは変わりませんが、見える範囲はだんだん狭くなっていきます。

普段、望遠鏡や双眼鏡を覗くときは接眼レンズをほとんど目に接した状態で見ますから、望遠鏡のレンズで作られた視角が、ほぼそのまま眼の中に入ってきて、あたかも網膜上に２００倍の視角が得られたように感じますが、離してみるとレンズと網膜との間の距離が離れるため、対象物は一部分しか見えなくなります。

レンズを覗いたときは視角の基準点がレンズに移動し、網膜上に入る視角は常に一定であると考えたほうがよいと思うのですが。

補足日時：2001/08/08 07:56

No.13 回答者： noname#11476 回答日時： 2001/08/08 10:09

私のだめ回答の方は管理者の方が削除してくれたようですね。

双眼鏡のケースでまだ霧がかかっているようなのでだめ押しを。

双眼鏡の場合は凸レンズ１個の場合とちょっと異なります。
望遠タイプでは必ずレンズが２枚必要になり、その構成が大きく分けて、凸レンズが２枚の場合と、凸レンズと凹レンズの組み合わせの場合の二通りありますが、簡単な凸レンズ２枚の場合で考えましょう。

で、この２枚のレンズ間の距離Ｌが２枚のレンズのそれぞれの焦点距離ｆａ，ｆｂと一定の関係にあります。
Ｌ＝ｆａ＋ｆｂ（厳密には物体の距離に応じてこの距離は多少長くなります）
更に、いま物体側のレンズａの焦点距離ｆａと接眼側のレンズｂの焦点距離ｆｂとの関係がｆａ＝βｆｂであるとき、この望遠鏡の倍率はβ倍になります。
ご質問のケースだとβ＝２ですね。

前回の凸レンズ１つの場合では、視角を考えるための基準となる主点がレンズ側に移るために起きていました。
今回の場合は２枚の望遠鏡のレンズによって視角の変換が起こります。
つまり、物体からレンズａに角度θで入射した光は、レンズｂより角度βｘθで出射されます。
これにより、本来ならば角度θの視角しか無かった物体の像がβ倍の視角で見えるので大きく見えます。

この場合も結局は、レンズａもとの観察した角度θの基準点は望遠鏡なので、これを動かしてしまうと凸レンズ一つの時と同じことが起きるのはおわかりになると思います。

最後に蛇足ですが、人間の目のレンズを含む光学系を考える場合は、人間の目の焦点位置は無限遠にして考えます。
これは人間の目が、レンズを通してみると無限遠になるためです。但し近視の人は無限遠に出来ないので、双眼鏡、カメラなどでは接眼部分で補正しないといけません。
（双眼鏡はピント機構があるので、その分ピントをずらしてあげるとうまく行きますが）

望遠鏡がなぜ視角の変換機能があるのかは、図を書いてみるとよくわかります。
望遠鏡の内部には、レンズａ，ｂの焦点面が存在します。角度θでレンズａから入った光はレンズａの主点を通り、距離ｆａで焦点を結び点になります。こんどはその点ａを起点として焦点距離ｆｂでレンズｂの主点を通ります。
このときに、同じ焦点の点に対して主点までの距離はｆａ，ｆｂで異なります。だから角度も異なるわけです。

では。

この回答へのお礼

専門的なご回答をありがとうございました。
まだ、十分理解できていない点があるので自分でもう少し考えてみたいと思います。

お礼日時：2001/08/09 23:09

No.14 回答者： redbean 回答日時： 2001/08/08 15:53

＞双眼鏡を覗いて考えてみたのですが、ある対象物を見ながら双眼鏡を

＞目に接した状態から徐々に離していくと、対象物の大きさは変わりま
＞せんが、見える範囲はだんだん狭くなっていきます。

「対象物の大きさは変わりませんが」ということは視角が変わっていな
いということです。

＞離してみるとレンズと網膜との間の距離が離れるため、対象物は一部
＞分しか見えなくなります。

こちらは視野（視界）が狭くなったということですよね。対象物の視角
とは別の問題だと思います。


双眼鏡をお持ちであれば、片目は肉眼で、もう一方は双眼鏡を通して、
同じ物をご覧になってはどうでしょうか。双眼鏡をうまく動かせば、
重なった状態で見えますが、視角（＝見かけの大きさ）の違いが明らか
に分かることと思います。

これは網膜というスクリーンに映っている像（道具を使えば他人がのぞき
見ることができるでしょう）の絶対的な大きさが違うということです。

この回答へのお礼

何度もご回答を頂き、ありがとうございました。感謝いたします。
もう少し、自分なりに考えてみます。

お礼日時：2001/08/09 23:13

No.15 回答者： DASS 回答日時： 2001/08/09 08:16

＃８で回答した者です。

まずは補足の回答から。
直接見ると１度分の視野角しかない物体を、１００度分の視野角に広げてくれるので、大きく見ることができるのです。

ひとつ思考実験をしましょう。
１つの幅が１ｍｍになるように１０個の数字を書いた物を用意します。
｜０１｜０２｜０３｜０４｜０５｜０６｜０７｜０８｜０９｜１０｜
１ｍｍが１０個ですから、０１の左端から１０の右端までは１０ｍｍあります。
これをあなたの目から、半径１ｍの円弧を描くように設置します。
１つの数字は、非常に小さな視野角内に収まります（計算すると０．０５７３度ですね）。
まずは真ん中の｜０５｜０６｜の２つの数字を見つめることにしましょう。
ここで、レンズを目と数字の間に置き、数字の大きさが２倍になるようにします。
あなたには、２倍に大きくなった
｜ ０ ５ ｜ ０ ６ ｜
が見えます（そのように設置したのですから当然ですが）。
それはレンズが無い状態で
｜０４｜０５｜０６｜０７｜
の４個分の数字を見ていた視野角と同じです。
２倍にすると言うことは、レンズがなければ４個の数字が見えていたはずの視野角に、２つの数字しか見えなくなっていると言うことです。見える数字の個数が減ると言うことは、見ている視野が狭くなっていることを意味していますよね。
「自分のその対象に対する視野は１００分の一になっていると考えてよいのでしょうか」というご質問には「ＹＥＳ」という回答が正しいことが理解いただけるでしょうか？

そうすると、レンズが無ければ｜０４｜のあった視野角まで｜０５｜がはみ出しているように思えますよね？もちろん、｜０６｜も｜０７｜の視野角まで、はみ出しているように思えます。
本当にはみ出ているのでしょうか？
これは、もう一つレンズを用意すればわかります。
同じ様に｜０３｜０４｜を２倍に拡大するとします。
前回の回答で、レンズの中心は、目と「 ０３｜０４ 」の中央の棒の、間に来る必要があることがわかっていただけていると思います。
ところで、レンズの大きさはどのぐらいでしょうか？
当然、レンズの大きさは最低でも視野角分は必要です。
この場合だと数字４つ分です。
新しいレンズは｜０３｜０４｜を２倍に拡大するために
｜０２｜０３｜０４｜０５｜
の４つ分の視野角に相当する大きさが必要です。
もちろん、さっきのレンズも
｜０４｜０５｜０６｜０７｜
の４つ分の視野角に相当する大きさがあります。
つまり、レンズ同士はぶつかってしまい、同時には拡大できないことがわかり、はみ出していることが証明されます。
もちろん、もっと大きな拡大を考えて、例えば１００倍に拡大したとすると、数字の無い左右両側にはみ出なければ１００倍の拡大になりませんよね。
倍率には関係なく、目に映る虚像は、はみ出ていることがわかります。

はみ出ているにもかかわらず、どうして１つのレンズで、レンズと目を動かす場合は映像が重ならないのでしょうか？
これがもともとの疑問になったのだと思います。
多くの回答が来ていますので、もう、ご自分で想像できると思いますがいかがですか？

レンズの役目は、小さな視野角しか得られない物体が四方八方に散らしている光をレンズの大きさ分だけ集めて、目に届けているだけです。

長くなりますので、この辺でとめます。
必要なら補足をご記入ください。

この回答への補足

いろいろ考えてみたのですが、まだどうも考えがまとまりません。
今回は、一旦この質問を閉じて、質問の内容がまとまったら、改めて新たな質問をさせていただきたいと思います。
この場をお借りして、ご回答いただいた方にお礼申し上げます。

補足日時：2001/08/17 21:11

この回答へのお礼

再度のご回答ありがとうございます。
そろそろ締めようと思っていたのですが、この回答を見て、もう少し考えてから締めることにしました。
また、補足をさせていただくかもしれませんのでよろしくお願いします。

お礼日時：2001/08/09 23:26