数学の解答で、写真の通り式があったのですが、丸で囲んだところ、突然このような式の展開になっていて、

Question

数学の解答で、写真の通り式があったのですが、
丸で囲んだところ、突然このような式の展開になっていて、なぜこうなるのかわかりません。

教えて頂けると嬉しいです。
よろしくお願いします。

masterkoto · Accepted Answer

高校数学では、「因数定理」を用いて因数分解するのが標準的です
正式の因数の見つけ方は、やみくもに探そうとするのはナンセンスで以下の方針で見つけるのが標準です
（因数が分数の場合、やみくもに見つけようとすると見つけられないこともあります）

最高次の係数をa、定数項をbとすると
±|bの約数|/|aの約数|
を候補として、f(x)=x³+3x²-24x+28=0を満たすxの数値を探すのです
この方程式では最高次の係数：a=1　なので、aの約数＝１
定数項：b=28なので　ｂの約数=1,2,4,7,28です
したがって、候補は、±|bの約数|/|aの約数|＝±1,±２、±４、±7,±28、の１０通りです
f(1)=1+3-24+28≠０
f(2)=8+12-48+28=0
・
・
・
f(-7)=-343+147+168+28=0
というように調べると、f(x)=0となるｘ（解）は　x=2とx=-7が見つかりますので、
f(x)は　(x-2)と{x-(-7)}=(x+7)を因数に持つことが分かるのです　・・・因数定理

x=-7と言う解を見つけた時点でこの問題の答えは出ているのかもしれませんが・・・
因数を１つでも見つけたら3次方程式の因数分解が可能となります
仮に因数(x-2)だけを見つけたとすれば
x³+3x²-24x+28=(x-2)・(ax²+bx+c)と因数分解で来るはずなので
(x-2)を移行して
(ax²+bx+c)=(x³+3x²-24x+28)÷(x-2)ですから
因数分解を進めるためには、割り算実行の必要があります
筆算でもよいし、簡便な「組み立て除法」でも良いです
組み立て除法のやり方はテキストで別途研究してもらうとして
結果だけ示すと

組み立て除法）
１　３　－２４　　２８　｜２
　　２　　１０　－２８
ーーーーーーーーーーーーーーーーーー
１　５　－１４　　　０

となるので
(x³+3x²-24x+28)÷(x-2)=(x²+5x-14)という結果が得られます　・・・もちろん筆算でも同じ結果が得られます
ゆえに(ax²+bx+c)＝(x²+5x-14)=(x-2)(x+7)ですから
x³+3x²-24x+28=(x-2)・(x²+5x-14)=(x-2)(x-2)(x+7)と因数分解ができます

konjii · Answer

曲線ｍ:ｙ＝ｘ³＋３ｘ²＋ax+b
と直線l:ｙ＝（a+24)x+b-28　の共有点のｘ座標は
ｘ³＋３ｘ²＋ax+b＝（a+24)x+b-28　のときのｘ座標である。
右辺を左辺へ移項して
x³+3x²-24x+28=0　これを因数分解すると
(x-2)²(x+7)＝０
共有点のｘ座標は、２とー７、点Ｑ＜０なので、点Ｑのｘ座標はｘ＝－７
って書いてるんじゃないですか。

ゼロプライム · Answer

因数定理を利用して因数分解します。
f(x)=x³+3x²-24x+28 とすると、
f(2)=2³+3・2²-24・２+28=8+12-48+28=0
よって、f(x) は x-2 を因数に持ちます。
縦書きの割り算をして、x³+3x²-24x+28 を x-2 で割ると、商は、x²+5x-14
よって、
f(x)=x³+3x²-24x+28 
=(x-2)(x²+5x-14)
=(x-2)(x-2)(x+7)
=(x-2)²(x+7)
したがって、
x³+3x²-24x+28 =0
(x-2)²(x+7)=0

ピーマン太郎 · Answer

因数分解です

数学の解答で、写真の通り式があったのですが、 丸で囲んだところ、突然このような式の展開になっていて、

高校数学では、「因数定理」を用いて因数分解するのが標準的です

曲線ｍ:ｙ＝ｘ³＋３ｘ²＋ax+b

因数定理を利用して因数分解します。

因数分解です

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