区分求積法で面積を求める場合必ずしも区間を等分しなくてもランダムに分けて極限をとっても面積を導出する

区分求積法で面積を求める場合必ずしも区間を等分しなくてもランダムに分けて極限をとっても面積を導出することが出来るということを聞きました。感覚的には納得できるのですが疑問な点が2つあります。
①等分しない場合の∑での表示はどのような形になるのか(つまり1/nのような形が出てこない訳ですから幅をどう現すのか)
②そもそも面積はやはり等分した際のlim(n→∞)∑(k=1→mn) (1/n)f(k/n)=∫(0→m)f(x)dx
が定義だと思いますので(見にくくて申し訳ない)ここから等分でなくとも面積が正確に求まるということを導出することは出来るのか？

という2点です。よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/02/21 02:20

①

積分 ∫[a,b] f(x) dx の定義は、「a = x0 < t1 < x1 < t2 < … < x(n-1) < tn < xn = b となる
有限列 x0, x1, …, xn, t1, t2, …, tn について S = Σ[k=1...n] f(tk) (xk - x(k-1)) を作り、
(xk - x(k-1))の最大値 → 0 とするときに S が一定の極限に収束するならば
その S の極限を ∫[a,b] f(x) dx とする」です。この定義を「リーマン積分」といいます。
xk - x(k-1) が不等分割の幅になっています。

②
上記の定義で ∫[a,b] f(x) dx が収束するのであれば、x0, x1, …, xn, t1, t2, …, tn は
(xk - x(k-1))の最大値 → 0 でありさえすれば何でもいいので、
S を等分割 xk = a + (b-a)(k/n) で計算しても積分は求まります。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/02/21 09:01

>lim(n→∞)∑(k=1→mn) (1/n)f(k/n)=∫(0→m)f(x)dx

>が定義だと思いますので

それは高校の教科書あたりででてくる仮の説明じゃないかな。
大学でないと積分の定義は習わない筈だし。