No.3
- 回答日時:
写真の解法は、Σの各項が f(k)-f(k+1) という形になることを利用して、
+ ... + の中のほうの項がバッサバッサ相殺されるというアイディアです。
括ったままだとそのアイディアが使えないので、鉛筆書きの変形の続きは
(1/k)( 1/(k+1) - 1/(k+2) ) = 1/(k(k+1)) - 1/(k(k+2)) とでもしましょうか。
あれれ、これでは中のほうを相殺することができません。
1/(k(k+1)) と 1/(k(k+2)) は、k の値をずらしても一致しませんからね。
その解法は、だめそうです。
写真のような巧妙な変形を思いつかない場合は、Σの項を部分分数分解
してしまってはどうですか? 全部バラすと
1/(k(k+1)(k+2)) = (1/2)/k + (-1)/(k+1) + (1/2)/(k+2) です。
これを k = 1, 2, 3, …, n で総和することを考えると、
下図のように中のほうが相殺されて計算ができます。
(1/2)/1 + (-1)/2 + (1/2)/3
(1/2)/2 + (-1)/3 + (1/2)/4
(1/2)/3 + (-1)/4 + (1/2)/5
(1/2)/(n-1) + (-1)/n + (1/2)/(n+1)
(1/2)/n + (-1)/(n+1) + (1/2)/(n+2)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(1/2)/1 + (-1/2)/2 + 0 + 0 + 0 ...... + 0 + 0 + (-1/2)/(n+1) + (1/2)/(n+2)
あとは、分数式の整理ですね。
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