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分数の数列の和について✋
1行目で括る数に文字を入れない方が良いんですかね?

「分数の数列の和について✋ 1行目で括る数」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 私の解答です

    「分数の数列の和について✋ 1行目で括る数」の補足画像1
      補足日時:2020/04/06 11:16

A 回答 (3件)

あなたのだと kに1から順に代入していくとき


(1/1)(1/2-1/3)+(1/2)(1/3-1/4)+(1/3)(1/4-1/5)・・・となるので
(1/1)(-1/3)と(1/2)(1/3)などのペアが相殺できないですよね。よって画像のように両端の分数以外すべて気持ちよく相殺 とはなりません
そもそも、Σ計算でkに実際に代入される数値が次々と変わってくるので くくりだし自体もできないことになります
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この回答へのお礼

なるほど、ありがとうございます

お礼日時:2020/04/06 11:31

写真の解法は、Σの各項が f(k)-f(k+1) という形になることを利用して、


+ ... + の中のほうの項がバッサバッサ相殺されるというアイディアです。
括ったままだとそのアイディアが使えないので、鉛筆書きの変形の続きは
(1/k)( 1/(k+1) - 1/(k+2) ) = 1/(k(k+1)) - 1/(k(k+2)) とでもしましょうか。
あれれ、これでは中のほうを相殺することができません。
1/(k(k+1)) と 1/(k(k+2)) は、k の値をずらしても一致しませんからね。
その解法は、だめそうです。

写真のような巧妙な変形を思いつかない場合は、Σの項を部分分数分解
してしまってはどうですか? 全部バラすと
1/(k(k+1)(k+2)) = (1/2)/k + (-1)/(k+1) + (1/2)/(k+2) です。
これを k = 1, 2, 3, …, n で総和することを考えると、
下図のように中のほうが相殺されて計算ができます。
(1/2)/1  + (-1)/2  + (1/2)/3
      (1/2)/2  + (-1)/3  + (1/2)/4
            (1/2)/3  + (-1)/4  + (1/2)/5
                             (1/2)/(n-1)  + (-1)/n  + (1/2)/(n+1)
                                     (1/2)/n  + (-1)/(n+1)  + (1/2)/(n+2)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(1/2)/1  + (-1/2)/2  + 0    + 0    + 0  ......  + 0    + 0    + (-1/2)/(n+1)  + (1/2)/(n+2)
あとは、分数式の整理ですね。
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2020/04/06 14:22

定数ならば 文字でも くくり出せます。


質問の場合 R は 定数ではありませんので
くくり出すと 違った計算式になります。
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