
A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
極座標表示は z = r(cosθ + i sinθ) { r≧0 } だから
| z⁴ | = r⁴ = 2⁴ から r = 2 は良いとして、
問題点は θ の処理ですね。
ド・モアブルの定理から
(cosθ + i sinθ)⁴ = cos(4θ) + i sin(4θ) だけれども、
cos(4θ) + i sin(4θ) = cosα + i sinα { α=(2/3)π } を解いて
θ を求めるときに三角関数の周期性が効いてきます。
cosα + i sinα = cos(α+2πk) + i sin(α+2πk) { kは整数 } なので
4θ = α+2πk となり、θ = α/4 + (π/2)k です。
これを r = 2 とともに z = r(cosθ + i sinθ) へ代入すると、
k は無限個ありますが、z の値は 4個だけになります。
No.3
- 回答日時:
まず、zの4乗からzを求めるので、解は4つ必要であることは認識してほしい。
ダメなところは、括弧の外に出した16の扱い。
z^2のときは±4になり、zのときは±2,±2iになる。
No.2
- 回答日時:
cosθ = -1/2, sinθ = (√3)/2
を満たすのは、0≦θ<2パイ の範囲では
θ = (2/3)パイ
ですが、 0≦θ<2パイ と範囲を限定しなければ
θ = (2/3)パイ + 2nパイ (n:整数)
でも成り立ちますよね。
初めに θ に範囲・制限を設けてはいけません。
初めに 0≦θ<2パイ の範囲を設けてしまったら、これを 1/4 にしたときに
0≦ θ/4 < (1/2)パイ
になってしまって、この範囲内の解しか見つかりませんよ。
0≦ θ/4 < 2パイ
にしたいなら、最低限
0 ≦ θ < 8パイ
にしないといけませんが、これは最後に範囲を区切ればよいので、最初は範囲を設けずに
θ = (2/3)パイ + 2nパイ (n:任意の整数)
にしておけばよいのです。
従って
z^4 = 16{cos[(2/3)パイ + 2nパイ] + i*sin[(2/3)パイ + 2nパイ]}
なんですよ。
これを解けば
z = 2{cos[(1/6)パイ + (1/2)nパイ] + i*sin[(1/6)パイ + (1/2)nパイ]}
つまり
0≦(1/6)パイ + (1/2)nパイ<2パイ
の範囲でいえば
n=0 の (1/6)パイ →これを z1
n=1 の (4/6)パイ = (2/3)パイ →これを z2
n=2 の (7/6)パイ →これを z3
n=3 の (10/6)パイ = (5/3)パイ →これを z4
が z に該当します。
n=4 の (13/6)パイ は (1/6)パイ+2パイ ですから z1 と同じで、n=4 以上は z1~z4 の繰り返しですね。
ということで、
z1 = 2{cos[(1/6)パイ] + i*sin[(1/6)パイ]} = √3 + i
z2 = 2{cos[(2/3)パイ] + i*sin[(2/3)パイ]} = -1 + [(√3)/2]i
z3 = 2{cos[(7/6)パイ] + i*sin[(7/6)パイ]} = -√3 - i
z4 = 2{cos[(5/3)パイ] + i*sin[(5/3)パイ]} = 1 - [(√3)/2]i
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