複素数平面の問題です。 方程式z^4=8(ー1+√3 i)を解け。 ※iは√の外です 私が作った解答

複素数平面の問題です。
方程式z^4=8(ー1+√3 i)を解け。
※iは√の外です
私が作った解答が写真の通りなんですけど、答えが足りません。2kπを使ったりする理由や私の解答の何がダメなのか教えて下さい！
よろしくお願いします

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/29 21:43

極座標表示は z = r(cosθ + i sinθ) { r≧0 } だから

| z⁴ | = r⁴ = 2⁴ から r = 2 は良いとして、
問題点は θ の処理ですね。

ド・モアブルの定理から
(cosθ + i sinθ)⁴ = cos(4θ) + i sin(4θ) だけれども、
cos(4θ) + i sin(4θ) = cosα + i sinα { α=(2/3)π } を解いて
θ を求めるときに三角関数の周期性が効いてきます。

cosα + i sinα = cos(α+2πk) + i sin(α+2πk) { kは整数 } なので
4θ = α+2πk となり、θ = α/4 + (π/2)k です。
これを r = 2 とともに z = r(cosθ + i sinθ) へ代入すると、
k は無限個ありますが、z の値は 4個だけになります。

No.3 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/04/29 18:44

まず、zの4乗からzを求めるので、解は4つ必要であることは認識してほしい。

ダメなところは、括弧の外に出した16の扱い。
z^2のときは±4になり、zのときは±2,±2iになる。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/04/29 18:39

cosθ = -1/2, sinθ = (√3)/2

を満たすのは、0≦θ<2パイ の範囲では
　θ = (2/3)パイ
ですが、 0≦θ<2パイ と範囲を限定しなければ
　θ = (2/3)パイ + 2nパイ　（n：整数）
でも成り立ちますよね。
初めに θ に範囲・制限を設けてはいけません。

初めに 0≦θ<2パイ の範囲を設けてしまったら、これを 1/4 にしたときに
　0≦ θ/4 < (1/2)パイ
になってしまって、この範囲内の解しか見つかりませんよ。
　0≦ θ/4 < 2パイ
にしたいなら、最低限
　0 ≦ θ < 8パイ
にしないといけませんが、これは最後に範囲を区切ればよいので、最初は範囲を設けずに
　θ = (2/3)パイ + 2nパイ　（n：任意の整数）
にしておけばよいのです。

従って
　z^4 = 16{cos[(2/3)パイ + 2nパイ] + i*sin[(2/3)パイ + 2nパイ]}
なんですよ。

これを解けば
　z = 2{cos[(1/6)パイ + (1/2)nパイ] + i*sin[(1/6)パイ + (1/2)nパイ]}

つまり
　0≦(1/6)パイ + (1/2)nパイ<2パイ
の範囲でいえば
　n=0 の (1/6)パイ　→これを z1
　n=1 の (4/6)パイ = (2/3)パイ　→これを z2
　n=2 の (7/6)パイ　→これを z3
　n=3 の (10/6)パイ = (5/3)パイ　→これを z4
が z に該当します。
　n=4 の (13/6)パイ は (1/6)パイ+2パイ ですから z1 と同じで、n=4 以上は z1～z4 の繰り返しですね。

ということで、
　z1 = 2{cos[(1/6)パイ] + i*sin[(1/6)パイ]} = √3 + i
　z2 = 2{cos[(2/3)パイ] + i*sin[(2/3)パイ]} = -1 + [(√3)/2]i
　z3 = 2{cos[(7/6)パイ] + i*sin[(7/6)パイ]} = -√3 - i
　z4 = 2{cos[(5/3)パイ] + i*sin[(5/3)パイ]} = 1 - [(√3)/2]i

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/04/29 18:09

あなたの解答を簡単な例でいうと

z^2 = -1 から z = i だけを求めた
のと同じこと.

これで十分ですか?