複素関数w=e^zの像

w=e^zのｘ＝一定、ｙ＝一定の像はそれぞれ、原点中心の円、偏角一定の半直線となる。ｚ平面上のほかの直線は対数螺旋に移るとあるのですが、どうやって確かめればよいのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/09 18:12

それは「対数螺旋」という言葉の定義しだいじゃないのかなあ。

質問文にあるような w の軌跡を対数螺旋と呼ぶことに決めたら
それで終わりの話だし。
もし、対数螺旋を数式で↓のように定義するのであれば...
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E6%95%B0 …

w = e^z であるとき、
z の直交座標表示を z = x+iy, (x,y は実数),
w の極座標表示を w = r e^(iθ) (r,θ は実数) と置くと、
r e^(iθ) = e^(x+iy) = (e^x)e^(iy) となる。
両辺の絶対値をとると r = e^x、
両辺の偏角をとると θ = y となっている。

xy座標上、y = (一定) 以外の直線は
x = py+q (p,q は実定数) で表示することができるから、
r = e^x = e^(py+q) = (e^q)e^(py) = (e^q)e^(pθ).
これは、対数螺旋を表す式である。
(a = e^q, b = p と置き換えたほうが見やすい？)

この回答へのお礼

ありがとうございます。解決しました。

お礼日時：2020/05/09 18:34