誤差伝播について

K=a^2b で表される式の相対誤差Sk/Kをa,bの誤差Sa,Sbで表すという問題を教えてください。
よろしくお願いします。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/18 21:54

Sk とか Sa, Sb とか、そりゃ何の記号やねんな。

誤差伝播式は、K を a,b の関数と見たときの一次近似の式である。
すなわち、ΔK = (∂K/∂a)Δa + (∂K/∂b)Δb + o(Δa,Δb).

K=a^2b という式がよく判らないが、上の式により
K=(a^2)b の意図であれば ΔK ≒ (2ab)Δa + (a^2)Δb,
K=a^(2b) の意図であれば ΔK ≒ (2b・a^(2b-1))Δa + (K(log a)・2)Δb.

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/05/18 12:06

誤差の伝播に関する理論的内容は、下記などを参照ください。

↓
http://www.tagen.tohoku.ac.jp/labo/ishijima/gosa …

お示しの式が

　K = a^(2b)　　　　①

なのか

　K = (a^2)･b　　　　②

なのか判別できません。

これは質問内容として致命的です。
テキストベースの表記の「不確実さ」を認識できない方が多いんですよね。

①だとすれば「べき乗」計算の誤差であり、②だとすれば「べき乗」計算と「積算」計算の誤差の合わせ技です。

①なら、 a : a ± εa、 b : b ± εbとすれば
誤差 Sk は
　(Sk)^2 = [(∂K/∂a)εa]^2 + [(∂K/∂b)εb]^2 = [2b*a^(2b - 1)*εa]^2 + [2log(a)*a^(2b)*εb]^2


②なら、 a : a ± εa、 b : b ± εbとすれば
(1) A=a^2 の誤差 Sa は
　　(S1)^2 = (2a*εa)^2
つまり
　　S1 = 2a*εa

(2) 従って、a^2 ± S1　と　 b ± εb　の積の誤差 Sk は
　(Sk)^2 = (b*S1)^2 + (a^2*εb)^2
　　　　= (2ab*εa)^2 + (a^2*εb)^2

相対誤差への換算はご自分で。