エントロピーのlogの計算過程がわからない

エントロピーのわからない問題が出てしまったので、計算過程を詳しく説明してほしいです。

対数の低は2です

-(7/20)log(7/20)-(13/20)log(13/20)
= 2+log(5)-(7/20)log[2]7-(13/20)log(13)


-(1/4)×(1/2)log(1/2)-(1/4)×(1/2)log(1/2)-(3/4)×(2/3)log(2/3)-(3/4)×(1/3)log(1/3)
= -(1/4)+(3/4)log(3)

このふたつがどうしてもわかりません。
どなたかお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/05/27 18:31

公式：logM/N=logM-logNより

log[2](7/20)＝log[2]7-log[2]20
log[2](13/20)=log[2]13-log[2]20だから
-(7/20)log[2](7/20)-(13/20)log[2](13/20)=-(7/20){log[2]7-log[2]20}-(13/20){log[2]13-log[2]20}
(7/20)や(13/20)を分配法則で展開して、log[2]20の項をまとめれば
={(7/20)+(13/20)}log[2]20-(7/20)log[2]7-(13/20){log[2]13
=log[2]20-(7/20)log[2]7-(13/20){log[2]13…① です

次に　logMN=lohM+logNより
log[2]20＝log[2](4・5)=log[2]4+log[2]5 ですが
log[2]4=x　⇔　　2^x=4　
つまり　底をｘ乗すると真数４になるというのが対数の意味なので
ｘ＝２で　すなわち　x=log[2]4=2となります

ゆえに①の続き=log[2]4+log[2]5-(7/20)log[2]7-(13/20)log[2]13
＝２+log[2]5-(7/20)log[2]7-(13/20)log[2]13　となります

ついでに先ほどの質問にもお答えすると、
「-(1/5)log[2](1/5) = log[2]5」について
log[2](1/5)=log[2]1-log[2]5=-log[2]5 ・・・log[2]1=0⇔2⁰=1
ゆえに、-(1/5)log[2](1/5) ＝-(1/5)・(-log[2]5)=0.2log[2]5です

２つめも同様に変形すると
-(1/4)×(1/2)log(1/2)-(1/4)×(1/2)log(1/2)-(3/4)×(2/3)log(2/3)-(3/4)×(1/3)log(1/3)
＝-(2/4)×(1/2)log(1/2)-(1/2)log(2/3)-(1/4)log(1/3)
＝(-1/4)x(log1-log2)-(1/2)(log2-log3)-(1/4)(log1-log3)
=(-1/4)x(0-log2)-(1/2)(log2-log3)-(1/4)(０-log3)
={(1/4)-(1/2)}log2+{(1/2)+(1/4)}log3
=(-1/4)log2+(3/4)log3
です

この回答へのお礼

とてもわかりやすい解説ありがとうございます。
これを参考に次の問題に取り組むことができます！！

お礼日時：2020/05/27 18:53