sin(mx)sin(nx)dx (n.mは自然数) これの0から2πまでの定積分の途中式教えてくだ

sin(mx)sin(nx)dx (n.mは自然数)
これの0から2πまでの定積分の途中式教えてください
ちなみにこたえは0(m≠n),π(m＝n)です！

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/04 13:07

積和公式より、

∫sin(mx)sin(nx)dx = ∫(1/2){ cos((m-n)x) - cos((m+n)x) }dx
= (1/2)∫cos((m-n)x)dx - (1/2)∫cos((m+n)x)dx.

∫cos(kx)dx は
k=0 のとき ∫[0,2π]cos(kx)dx = ∫[0,2π]dx = 2π,
k≠0 のとき ∫[0,2π]cos(kx)dx = [ (1/k)sin(kx) ]_{x=0,2π} = 0.
だから、

m=n のとき ∫[0,2π]sin(mx)sin(nx)dx = (1/2)2π - (1/2)0 = π,
m≠n のとき ∫[0,2π]sin(mx)sin(nx)dx = (1/2)0 - (1/2)0 = 0.