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以下のf(x)がx>=0で連続関数であることを示し、f(x)を0〜1で定積分した答えを求めよ。
f(x)=xlogx(x>0)
0(x=0)

ちなみにヒントには
F(x)=∮f(t)dt (0からx)とおけば、F(x)はf(x)の原始関数。だけどx=0とx>=0で関数の形が違うので計算し難い。そこでG(x)=∮f(t)dt (xから1)について考えてみては
と書かれていますがまったく意味わかりません。
途中まででもいいので教えてください。

A 回答 (3件)

連続性は、関数によっては直感に反する場合もあるので、


グラフではなく計算で考えましょう。
x log x (x>0) の連続性は自明としてよいでしょう。
ちゃんと示すとしたら、
log x = ∫(1/x)dx と積分で表されることから log x は連続であり、
連続関数どうしの積 x log x は連続...とでも言えばよいですが、
冗長かなあとも思います。
lim[x→+0] x log x = 0 もほぼ自明かとは思いますが、
何かを示せと言われているのだから、こちらは示しておくほうが無難でしょう。
y = - log x で置換すると
0 > x log x = -y/e^y > -y/(1+y+y^2) であり、 ←[1]
この式で x→+0 すなわち y→+∞ の極限をとれば、
ハサミウチの定理により lim[x→+0] x log x = 0 です。

f(x) が 0≦x≦1 で連続だと判ったので、∫[0,1]f(x)dx は収束し、
しかも広義積分 lim[a→+0]∫[a,1]f(x)dx と一致します。
この一致を利用するために、f(x) の x=0 での連続性が必要なのでした。 ←[2]
∫[a,1]f(x)dx (a>0) を計算するには f(x) = x log x だけを扱えばよく、
一点だけ式の違う被積分関数を積分するにはどうしたらいいのか?
という悩みが生じません。
∫(x log x)dx は高校性がよくやる部分積分の例題で、
∫[a,1](x log x)dx = [ (1/2)(x^2)(log x) ]_{x=a,1} - ∫[a,1](1/2)(x^2)(1/x)dx
= (1/2){ 0 - (a^2)(log a) } - (1/2)∫[a,1]xdx
= - (1/2)(a^2)(log a) - (1/2)[ (1/2)x^2 ]_{x=a,1}
= - (1/2)(a^2)(log a) - (1/4){ 1^1 - a^2 }
= - (1/2)(a^2)(log a) - (1/4) + (1/4)a^2.
と計算できます。これを使って、
∫[0,1]f(x)dx = lim[a→+0]∫[a,1]f(x)dx
= lim[a→+0]{ - (1/2)(a^2)(log a) - (1/4) + (1/4)a^2 }
= - (1/2)lim[a→+0](a^2)(log a) - (1/4) + (1/4)lim[a→+0]a^2
= -(1/2)0 - (1/4) + (1/4)0
= -1/4.
これが答えです。
途中 lim[a→+0](a^2)(log a) = 0 が出てきましたが、
これは 2y = - log a で置換すると
(a^2)(log a) = -2y/e^y より[1]と同様に計算できます。

この問題で重要な点は、[2]だと思います。
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連続とはグラフがつながっているという事


そこで、つながっていることを示す
もっとも x>0でf(x)=xlogxはつながっている(連続)ということは「明らか」の一言で片づけてよいと思いますが
あえてやるなら任意の正の実数aについて
Limx→a f(x)=Lim x→a(xlogx)=aloga
f(a)=loga
ゆえに Lim x→a f(x)=f(a)
これで任意のaについてx=aでf(x)はつながっていると言えるので x>0でf(x)は連続

x=0でつながっているかどうかは不明なのできっちり示します
Lim x→+0 f(x)=Lim x→+0(xlogx)=0 ・・・ロピタルの定理利用など
f(0)=0
ゆえにLim x→+0 f(x)=f(0)
よって x=0で連続です

次にx>0のとき
∫[x~1]f(x)dx=∫[x~1]xlogxdx
=[(1/2)x²logx]-∫[x~1](1/2)x²・(1/x)dx ・・・部分積分
=-(1/2)x²logx-[(1/4)x²]
=-(1/2)x²logx-{1/4-(1/4)x²}
=-(1/2)x²logx+(1/4)x²-1/4=G(x)

Lim[x→+0] G(x)を計算すれば答え
(-(1/2)x²logx部分は再びロピタルの定理で)
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簡単に言えば、f(x)はx>0では連続であることは自明なので、x=0において連続か示せばいい。


要するにxlogxについて、xを正の値から0に近づけた値が0となることを示せば、連続であることは示せる。

そして
>そこでG(x)=∮f(t)dt (xから1)について考えてみてはと書かれていますが

これは文字通りG(x)を求めてあげて、xを0に近づけてみると良い。広義積分ですね。
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