No.2ベストアンサー
- 回答日時:
質問文の行列が位置ずれで読みにくいのだけれど、
α[n]=3α[n-1]+β[n-1],
β[n]=α[n-1]+3β[n-1] みたいですよ。 →No.1
α[n]+β[n] = 4(α[n-1] + β[n-1]),
α[n]-β[n] = 2(α[n-1] - β[n-1]) なので、
等比数列
α[n]+β[n] = (α[1] + β[1]) 4^(n-1)
α[n]-β[n] = (α[1] - β[1]) 2^(n-1) が判ります。
よって、
α[n] = { (α[1] + β[1]) 4^(n-1) + (α[1] - β[1]) 2^(n-1) }/2
= { (3 + 1) 4^(n-1) + (3 - 1) 2^(n-1) }/2
= 2・4^(n-1) + 2^(n-1),
β[n] = { (α[1] + β[1]) 4^(n-1) - (α[1] - β[1]) 2^(n-1) }/2
= { (3 + 1) 4^(n-1) - (3 - 1) 2^(n-1) }/2
= 2・4^(n-1) - 2^(n-1).
解答欄から見ると、
α[n] = 2^(n-1) + 2・4^(n-1),
β[n] = -2^(n-1) + 2・4^(n-1).
と書くべきなのかな。
穴埋め式って、そういうとこがキライなんだけど。
No.1
- 回答日時:
a[n]=3a[n-1]+b[n-1]・・・・①
b[n]=a[n-1]-3b[n-1]・・・・②
a[1]=3, b[1]=1だから
➀+②
a[n]+b[n]=4(a[n-1]+b[n-1]) → a[n]+b[n]=(a[1]+b[1])4ⁿ⁻¹ → a[n]+b[n]=4ⁿ・・・・③
➀-②
a[n]-b[n]=2(a[n-1]-b[n-1]) → a[n]-b[n]=(a[1]-b[1])2ⁿ⁻¹ → a[n]-b[n]=2ⁿ・・・・④
➂④を解いて
a[n]=2・4ⁿ⁻¹+2ⁿ⁻¹
b[n]=2・4ⁿ⁻¹-2ⁿ⁻¹
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