マクローリン展開の問題です n=4までちゃんとマクローリン展開したのですが間違いになってしまいます。

マクローリン展開の問題です
n=4までちゃんとマクローリン展開したのですが間違いになってしまいます。(計算サイトで正しいのは確認済み)
どうしてなのでしょうか。

質問者からの補足コメント

• 捕捉させていただきます。
  hintにはマクローリン展開の公式しか書かれていません。マクローリン展開して書いても不正解になり一向に題意すらつかめておりません…

    補足日時：2020/07/12 23:48

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/12 12:19

これは、問題も悪い。

剰余項の表示のしかたについてハッキリと指定してないから。
「t って何だよ？」って感じ。
たぶん Hint のところに、どんな風に書いて欲しいかの
例が示してあったのだろうとは思うが...
こういういかげんな出題って、日本の受験参考書には多いけれど、
洋書にもあるんだねえ。 n=4 も何だかなな書き方だし。
著者は、ちゃんと解って書いてんのかな？

あなた側の問題として、まず知っておくべきは、
「n=4 までのマクローリン展開」なんてものは存在しないこと。
無限級数展開がマクローリン展開であって、
４次で打ち切ったものは、あくまで「4次のマクローリン近似」。
近似式であり、もとの f(x) とイコールにはならない。
その誤差 f(x) - { f(x) のマクローリン近似 } を「剰余項」と呼ぶ。

この問題は、解答欄が「f(x) =」となっているので
剰余項つきで書かなくてはならないが、
剰余項の表示のしかたにはいろいろ方法がある。
一番なんちゃってなのは f(x) - { f(x) のマクローリン近似 } を
そのまま書いてしまう方法で、この問題で言えば
f(x) = 3 + (1/12)x - (1/648)x^2 + (1/15552)x^3 - (1/279936)x^4
　　+ { √(9+x) - 3 - (1/12)x + (1/648)x^2 - (1/15552)x^3 + (1/279936)x^4 }.
この式の { } の部分が剰余項だ。
もっと世間に受け入れられる書き方にもいろいろ種類がある。↓
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4 …
リンク先は「テイラーの定理」なので、今回は a=0 として読んでほしい。

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/07/12 08:19

マクローリン展開ではなく、マクローリンの定理のことを言っているのだと思う。

マクローリンの定理は、

f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+ … +(f(x)のn-1回微分におけるx=0)x^(n-1)/(n-1)! + R[n]

R[n]=(f(x)のn回微分におけるx=c)x^n/n!

を満たすc(0<c<xを満たす)が存在する。

という定理。
このR[n]は剰余項と呼ばれている。

lim[n→∞]R[n]=0なら、無限級数展開が可能、すなわちマクローリン展開になる。

つまり、今回の問題は、

f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+f'''(0)x^3/3!+R[4]
=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+f'''(0)x^3/3!+f''''(c)x^4/4!

を示せと言っているのだと思う。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/07/12 02:45

ここでいう「Maclaurin's Theorem」ってどういうもの? そして, 何が「間違い」になってしまう, といっている?