分数方程式の同値変形について

すみません。再投させて下さい。
分数方程式の同値変形について、丁寧に考えてみました。ご意見願えないでしょうか？

例題として、以下の分数方程式

1/(x-1)　= x①を考えます。

ここで①の左辺の1/(x-1)は、この式が意味を持つために、明示的に書かれてなくても、x!=1を含むので

1/(x-1)　= x　①⇔　1/(x-1)　= x　∧　x!=1　②

一方、1/(x-1)=x①の両辺にx-1かけて整理すると、
1=x(x-1)③という2次方程式が得られますが、

①と③は、同値ではない。必要性しか成立しない。
つまり、
1/(x-1)=x ①　⇒　1=x(x-1)③
ここで、同値性を保つためには、十分性が確保される事が必要になる。
そのために、③に、x!=1を付け足すこと（結果を④とする。）で、④の1つ目の方程式であるx(x-1)=1の両辺をx-1で割ることが許され、以下の変形が成立する。
x(x-1)=1∧x!=1④　⇒ x=1/(x-1)∧x!=1⑤

（ここで、⑤において、x!=1は、④において元々成立してる条件なので、両辺をx-1で割った後にも当然成立してるので、それをそのまま書いたことになる。）
⑤は②そのものなので、結局④⇒⑤⇔②⇔①となる。

つまり、④から①への十分性が成立する。

また、①から④への必要性であるが、
①は、先にも述べたように元々x!=1を含んでいるので②と同値であることは先に述べた。
②の両辺にx-1をかけることで、直ちに④が得られる
つまり、①⇔②⇒（⇔も可能）④となり、必要性が示せた。以上の説明より、以下の同値変形
①(⇔②)⇔④
が成立する。

丁寧に考えてみると、上のようになりました。何となくで理解してきてたのですが、数学音痴を直したく思い、勉強し直してます。

ご意見願えないでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 

  題　1/(x-1)=x①について考える。
  
  解（与式①が意味を持つ）x!=1として、議論をすすめる。このとき、
  
  1/(x-1)=x①⇔x(x-1)=1②　　（同値変形が成立）
  
  よって、②を解いてx=(1±√5)/2
  これらは、ともにx!=1を満たすので②の解として意味を持つ。
  また、①と②は同値なので、これらの解は①の解でもある。
  ※
  また、上の議論ははじめに示したように、全てのx,x!=1について考察してるので、①が意味を持つ全てのxを考察した結果得られたものである。
  よって、これらは与題①の解である。
  
  以上
  
  ※から先は冗長かもしれません。わかりやすさのために書いてみました。
  
  議論領域からx=1を外して、同値変形して解いてみると上のようになるかと思います。
  ご意見願えないでしょうか？勉強になります。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/07/12 10:10

• 

  お返事分かりやすかったです。
  理解が深まりました。
  
  元々の私の投稿の議論はどう思われます？初回投稿のものになります。長文ですみません。
  
  主旨としては、
  ①の明示的にx=1を除いてない表現から出発し、これを式が意味を持つ範囲であるx!=1を加味した②と同値であることを一度きちんと書く。
  
  このステップを明示すると、分数関数の同値変形が記号操作として機械的に、飛躍なく説明出来ると思って書いたものになります。
  
  ご意見伺えば、幸いに思います。他の方のご意見でも構いません。詳しい方、アドバイスお願いします。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/07/13 02:03

No.4 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2020/07/13 15:28

No.3へのコメントについてです。

それでよろしいかと思います。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2020/07/12 22:48

No.2へのコメントについてです。

それでよろしいかと思います。

「方程式f(x)=0を解け」ってのは、「{x|x∈[議論領域] ∧ f(x)=0} という、内包的に（すなわち「●●の性質を満たすもの」という条件によって）定義された集合の外延（すなわち要素の具体的なリスト）を示せ」という要求に他なりませんから、「①について考える」前提として、すでに議論領域が明らかでなくちゃいけないわけです。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2020/07/12 08:30

議論領域（すなわちxの変域）を1を除いた集合（例えばR\{1}）に限定した上で話を始める、という手もあります。

No.1 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/07/12 08:26

x≠1が明示的に書かれていないから明示します。

この操作は絶対に必要です。
例によると、x-1≠0場合のとき両辺に(x-1)をかけられるので、

x-1≠0のとき
1/(x-1)=x
1=x(x-1)
・
・
x=・・・
になって、求まったxがx-1≠0を成立させる数か確認して初めて解になります。

1/(x-1）=x 　　xはすべての実数のはずです。
ですから、x-1=0になるxを除外すること、または除外したことを宣言しないと計算できませんし解は求まりません。求まった解が定義された計算によって得られたことを言う必要があるということです。