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- 回答日時:
期待値の表記方法を使うのであれば、期待値の特性である(a は定数)
E[aX] = aE[X]
E[X + a] = E[X] + a
E[X + Y] = E[X] + E[Y]
を使って変形すればよいだけです。
E[(X - μx)(Y - μy)]
= E[XY - μx・Y - μy・X + μx・μy]
= E[XY] - E[μx・Y] - E[μy・X] + E[μx・μy]
= E[XY] - μxE[Y] - μyE[X] + μx・μy
= E[XY] - μx・μy - μy・μx + μx・μy
= E[XY] - μx・μy
もし X, Y が独立なら
E[XY] = E[X]・E[Y] = μx・μy
ですから共分散は「0」です。
もし X, Y が独立でないなら
E[XY] - μx・μy
は 0 以外の値になり、それが「共分散」です。
1変数の確率変数の分散が
V[X] = E[X^2] - μ^2
で求まるのと同じような関係です。
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