度々すみません。共分散の期待値について質問です。 E［(X-μx)(Y-μy)］ですが、これを展開す

度々すみません。共分散の期待値について質問です。
E［(X-μx)(Y-μy)］ですが、これを展開する過程が分かりません。
E(XY-μxY-μyX+μxμy)から先は、どのように展開されますか？Eを分配するのかと思ったのですが、違うのでしょうか。
初歩的なところですがよろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/07/16 20:47

期待値の表記方法を使うのであれば、期待値の特性である（a は定数）

　E[aX] = aE[X]
　E[X + a] = E[X] + a
　E[X + Y] = E[X] + E[Y]
を使って変形すればよいだけです。

E[(X - μx)(Y - μy)]
= E[XY - μx･Y - μy･X + μx･μy]
= E[XY] - E[μx･Y] - E[μy･X] + E[μx･μy]
= E[XY] - μxE[Y] - μyE[X] + μx･μy
= E[XY] - μx･μy - μy･μx + μx･μy
= E[XY] - μx･μy

もし X, Y が独立なら
　E[XY] = E[X]･E[Y] = μx･μy
ですから共分散は「0」です。

もし X, Y が独立でないなら
　E[XY] - μx･μy
は 0 以外の値になり、それが「共分散」です。

１変数の確率変数の分散が
　V[X] = E[X^2] - μ^2
で求まるのと同じような関係です。

この回答へのお礼

ありがとうございました、すごく助かりました。細かく丁寧で感謝しております。

お礼日時：2020/07/16 22:05