大学数学 極限に関する問題です。

この問題がわかりません。

nを正の整数とし。ｘ＞0であるとする。またeを自然対数の底とする。

⑴ｘ^ｎ/n！＜e^x であることを示せ。

⑵lim x→∞ x^n/e^x=0 であることを示せ。ただし（１）の結果を用いて構わない。

宜しくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2020/07/27 18:21

⑴ｘ^ｎ/n！はe^xのマクローリン展開の一般項であるから

ｘ＞0ならたしかになりたつ。
⑵（1）においてｘ＞0は任意だからｘのかわりにｘ/2とおいても（1）は成り立つ。
つまり
(ｘ/2)^n/n！＜e^(x/2)　この両辺をe^xでわってn！(2^n)を移項すれば
0＜x^n/e^x＜n！(2^n)e^(－x/2)
ゆえにｘ→＋∞ならば上の不等式の右辺は0に収束だから
挟み撃ち定理より表記の結論に至る。

この回答へのお礼

ご回答していただきありがとうございます。理解出来ました。

お礼日時：2020/07/28 06:26