合同式

受験勉強で合同式を使い始め、とても便利だと思っているのですが、良く分からない点があるので教えてください。

1
modはなんでもいいとして、m^5-m≡0⇔m^5≡mと変形できるのでしょうか。つまり「移項」は出来るのでしょうか。２つ合同式があって辺辺を足したり、引いたりする事、両辺に同じものをかけることが出来ることは習いましたが、移項は出来ないと思います。

上の変形の場合は両辺に-1をかけて、辺辺を足せば成立するので正しいと思いますが、移項という考えは成立するのでしょうか。





2
大学受験レベルで、mod5として、3≡-2と言うのはいちいち記述すべきでしょうか。



よろしく御願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/02/27 01:04

移項は、もちろん出来るし、

移項については、mod がなんでもいいです。

ひとつ気をつけておくのは、質問者さん自身
＞辺辺を足したり、引いたりする事、両辺に同じものをかけることが出来る
と書いておられる通り、足す引く掛けるは自由だけれども、
割り算には注意が要るということです。

mod n の n が素数ならば、あまり気にせず、普通の実数の計算と同じように
割り算が出来るのですが、n が合成数だと、困ったことが起こります。
例えば、2 x≡4 (mod 6) を x≡2 と変形すると、解 x≡5 が失われてしまいます。
両辺を 2 で割ることが出来なかった理由は、何だと思いますか？

＞大学受験レベルで
受験の答案には、x≡y (mod n) は使わず、x＝y + k n (kは整数) と書いて
おいたほうが無難だと思います。頭の中では、≡で計算したとしても。

この回答への補足

割り算について「素数」と言うのは上の例(2x≡4)の場合、2とnが「お互いに素」と言うことですよね。

合同式は整数問題の回答で使うぐらいで、未知数が入っているものは解いたことがないのですが、一応お互いに祖でない場合の解法を教えてください。

なんでお互いに素でない場合は割れないかは参考書に書いてありましたが、個人的には余分なものまで割ることによって消えてしまう程度に理解しており、現時点ではそれで十分だと思います。何せ未知数自体今のところ扱わないので。

でも一応その場合の解法を教えてください。

補足日時：2008/02/27 09:25

No.3 回答者： zk43 回答日時： 2008/02/26 20:09

移項は視覚的には項が移るように見えますが、等号の両辺に同じものを

加える、引くという操作のことです。
A=Bの両辺にCを足すと、A+C=B+Cですが、C=-BのときはA-B=0となって、
Bが左辺に移るように見えるのです。

mod5として3≡-2というのは、一般的には3≡-2（mod 5）と書きます。
文脈からmod5が明らかなときは略すこともあるかと思いますが、頭で
以下mod 5で考える、と断りを入れておいた方が良いと思います。

この回答へのお礼

皆さんどうもありがとうございました。大体の考え方は理解することが出来ました。特に移項については参考になりました。

お礼日時：2008/02/27 09:25

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/02/26 17:44

合同式の前に, 普通の等式で「なぜ移項できるのか」は考えたことありますか?

「移項」というのは「辺々加える」という操作の (一方の辺の特定の項が他方に符号を変えて現れるという) 特殊な場合ですから, 「辺々加える」ことができれば移項できます.

No.1 回答者： age_momo 回答日時： 2008/02/26 09:28

>２つ合同式があって辺辺を足したり、引いたりする事、両辺に同じものをかけることが出来ることは習いましたが、

>移項は出来ないと思います。

なぜこういう疑問が出てくるのでしょうか？

a≡b　(mod k)
m≡m　(mod k)

辺辺を加減すれば

a±m≡b±m　(mod k)

ですね。要は同じ数字(変数)を加減できますから、移項できます。

>大学受験レベルで、mod5として、3≡-2と言うのはいちいち記述すべきでしょうか。

一々記述するべきです。試験での記述で例えば(x-1)^2=0で止めないでしょう？
分かりきっていてもx=1まで書くもんです。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%88%E5%90%8C% …