コーシー・シュワルツの不等式を用いて, x^2+y^2+z^2 = 1のとき, |3x + 2y +

コーシー・シュワルツの不等式を用いて, x^2+y^2+z^2 = 1のとき,
|3x + 2y + 4z|の最大値を求めよ.
またそのときのx, y, z を求めよ.

という問題が分かりません。
教えて頂けますでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/08/03 18:03

コーシー・シュワルツの不等式

(a₁²+a₂²+a₃²)(b₁²+b₂²+b₃²)≧(a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)²
等号成立は、a₁:a₂:a₃=b₁:b₂:b₃ のとき。

不等式において、以下のようにおきます。
(a₁,a₂,a₃)=(3,2,4)
(b₁,b₂,b₃)=(x,y,z)

(3²+2²+4²)(x²+y²+z²)≧(3x+2y+4z)²
x²+y²+z² =1 より、
29≧(3x+2y+4z)²
これより、|3x+2y+4z| の最大値は √29 です。
等号成立は、3:2:4=x:y:z のとき。

x=3k、y=2k、z=4k とおいて、x²+y²+z² =1 に代入します。
(3k)²+(2k)²+(4k)²=1
29k²=1
k= ± 1/√29
よって、最大値をとるのは、
x=± 3/√29、y=± 2/√29、z=± 4/√29 のときです。