ただいまミクロ経済学を勉強しております。壁に当たったため、お力を貸していただきたいです。
混合戦略のナッシュ均衡についてです。
2×2マスになっているものや3×2マスになっているような混
合戦略のナッシュ均衡は答えることができますが、下のような物はどうやって解いていくのでしょうか?
大文字ABCDの方をプレイヤー①、小文字abcdの方をプレイヤー②とする。
①がAを選ぶ確率をp、Bを〜q、Cを〜r、Dを1-p-q-rとし、②がaを選ぶ確率をs、bを〜t、cを〜u、dを〜1-s-t-uとして、それぞれの期待利得を考えていくのかな?とも思うのですが、、、
詳しい方、お力をお貸しください。
以下問題文
混合戦略ナッシュ均衡のうち、プレイヤー2の利得が最大になるものを答えよ
A~Dがプレイヤー1
a~dがプレイヤー2
a b c d
A (6,2) (12,1) (9,0) (1,2)
B (0,13) (9,6) (7,10) (5,-2)
C (2,6) (10,8) (8,7) (6,5)
D (6,5) (11,4) (6,3) (7,5)
A 回答 (4件)
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No.5
- 回答日時:
いま、気が付いたのですが、
>確かに逐次消去を行うとADadがのこります。
と補足に書いておられるが、私の逐次消去ではADabが残る。
a≧d⇒A>B⇒b>c⇒A>Cと来て、ADabが残る。ここで、a≧dはdがaによって弱支配されることを意味し、dを消去したあと、A>BはBがAによって強支配されることを意味し、Bを消去したあと云々と、最後にADabが残る、ということです。
最初の、a≧dから出発するなら、別のルートもありますが、最後はADabが残ります。
あなたの消去の順序を見せてください。
No.4
- 回答日時:
まだ納得できませんか?No.1とNo.2の回答をまとめると、このゲームの混合戦略ナッシュ均衡は
((p,1-p, 0,0,0),(1,0,0,0,0))
ただし、pは0≦p≦1の任意の値。
と書ける。p=1とp=0のときは純粋戦略ナッシュ均衡だから、純粋戦略ナッシュ均衡は2つあり、混合戦略ナッシュ均衡は無数にあることになる。したがって、プレイヤー1と2の期待利得の組は(6, 2p+5(1-p))=(6,5-3p)となる。よって、プレイヤー2の(期待)利得が最大となるのは、プレイヤー1がp=0、つまり純粋戦略Dをとるときで、このときプレイヤー2の利得は5となる。
No.2
- 回答日時:
>ここの状態でプレイヤー1がAを選ぶ確率をp、Dを選ぶ確率を1-pとし、aを選ぶ確率をq、dを選ぶ確率を1-qとしてとくと、p=0q=1となってしまうのです。
このとき利得表は
a b
A 6, 2 12, 1
D 6, 5 11, 4
となる。プレイヤー1の反応関数を考えてみよう。プレイヤー2が(q,1-q)の混合戦略をとるとき、プレイヤー1はAを選択するなら、6q+12(1-q)=12-6qの期待利得を得る。Dを選択するなら、6q+11(1-p)=11-5qの期待利得を得る。よって、Aを選択するのは12-6q>11-5q、すなわち、q<1のときであり、q=1ならば、AとDの選択は無差別だ。一方、プレイヤー2については、プレイヤー1が(p,1-p)の混合戦略をとるとき、プレイヤー2はaを選択するなら、2p+5(1-p)=5-3pの期待利得、bを選択するなら、p+4(1-p)=4-3pの期待利得を得る。よって、aを選択するのは5-3p > 4-3pのときなので、プレイヤー1がpが0から1までのどんな値をとってもプレイヤー2はaを選択する。したがって、プレイヤー2の最適反応はq=1であり(つまりaを選択する)、プレイヤー1の最適反応はpは0から1までの任意の値ということになる。p=1なら、Aを選択、p=0なら、Dを選択するが、0<p<1なら、プレイヤー1は混合戦略(p,1-p)をとることになる。プレイヤー2の最大利得はプレイヤー1がp=0を選択する(つまり、Dを選択する)ときで、5だ。
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