マクロ経済の問題です。

すみません、どうしても気になることが有りました。

ある経済の生産関数が、コブダグラス型のＹ＝AKªＬ¹-ªであらわせれる。

(1)aが0.4であり、技術水準、資本ストックおよび労働投入量がそれぞれ毎年
1％、2％、1％で伸びるとき、産出量は毎年何％の伸びるかを求めよ。

⊿Ｙ/Ｙ＝⊿Ａ/Ａ+0.4⊿Ｋ/Ｋ+0.6⊿Ｌ/Ｌより
⊿Ｙ/Ｙ＝2.4

(2)前問のペースで経済が成長するとき、産出量が２倍になるまでの期間ｔ(年、tは整数）
を求めよ。常用対数を参考にしても良い。

毎年2.4％伸びるため、
1.024^t=？？？
log1.024 ???=t

ここの？？？は何を置けばいいのでしょうか？

２かなと思ったのですが、何故２なのかはわからないです。

ご教授お願いします。

No.4 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/10/25 20:19

どうも見たことのある質問だと思い、調べたら、これ

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11938382.html

と同じ質問ではないか！解決したのではなかった？同じ質問をもう一度とりあげるのはどうもすっきりしないということ？No3の回答で対数について、とくに常用対数について詳しく説明したので今度は理解できたのでは？？？わからないことがあるなら、どこがわからないか言ってほしい。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
ベストアンサーに選びましたので
追加質問できませんでした。
解決しました。
ありがとうございます。

お礼日時：2020/10/25 22:38

No.3 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/10/25 18:05

どうも話が通じないと思ったら、あなたは対数が苦手なんですね！前にも、似た問題で苦労していることを思い出しました。

くわしく解説しましょう！まず対数をとる前の事実を式で示すことから始めます。

・年率2.4％で、ｔ年間成長すると、100のものは100(1+0.024)^tとなる。
ここまではよいでしょうか？わからなかったら、100円を年あたり2.4%の複利で銀行に預けるとｔ年後にはいくらになるか考えてください。1年後には
100(1+0.024)、2年後には100(1+0.024)を元金として1年間預けるので
100(1+0.024)×(1+0.024)=100(1+0.024)^2、3年後には
100(1+0.024)^3、・・・、そしてt年後には100(1+0.024)^tとなる。

・ところが、問題はこの値がｔ年後には当初の100の2倍、つまり200になると言っているのだから
100(1+0.023)^t = 200
よって
(1+0.023)^t = 2
1.023^t = 2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(*)
が成立する。

・つぎに、両辺の常用対数をとることを考えますが、常用対数とは対数の底が100の対数のことで、通常底の100を省いて、Aの常用対数なら、log Aと書きます。経済学ではしばしば用いるのはe（自然対数の底で、値が近似的に2.71828...をとる無理数です。）eを底とする対数で、自然対数といいます。Aの自然対数もしばしば底を省いてlog Aと書き、常用対数と区別するために
ln Aと書くこともあります。

・つぎに、(*)の両辺の常用対数をとることを考えると、
log 1.023^t = log 2
となる。これは両辺とも底は10の対数を表している。
A=Bの常用対数をとると、
log A = log B
となるのと同じことです。あなたは、どうも(*)の対数とは1.023を底、真数２を底とした対数
log（1.023） 2 = t　　　　　　　　　　　　　　　(**)
なお、わざわざ底の部分をカッコのなかにいれました（そうしないと、1.0232と区別がつかないからです）を考えているようですが、これは常用対数ではありません！常用対数とは10を底とする対数で、常用対数表ができているので、対数の近似値をもとめるのが容易です。もちろん、底を1.023から１０へ変換する公式があります。それを使えば(**)の左辺は

log(1.023) 2 = log2/log1.023
となり、よって(**)は
log 2/log 1.023 =t
log2 = t log 1.023
t log 1.023 = log 2
が得られる。しかし、これは(*)の両辺の常用対数を直接とることで

log 1.023^t = log 2
t log 1.023 = log 2
と、求めたほうが簡単！！！

No.2 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/10/25 12:20

＞何故、２なのですか？

毎年、⊿Ｙ/Ｙが2.4％なので
⊿Ｙ/Ｙが100になれば良いとも思いました。
log2.4 100=t
では駄目なのですか？

年率2.4%の成長で2倍になるのはいつかは、元金100、年利2.4%で、元利合計が2倍の200になるのはいつか、と考えてみてください。よって、
100(1+0.024)^t = 200
(1+0.024)^t = 2
tlog1.024=log2
log1.024/log2=t
あとはNO.1で答えた通り。これには計算間違いはありません(笑）。
？？には２がはいり、？？？には/log2あるいは÷log２がはいる。

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/10/25 05:34

中学生あるいは頭のいい小学生の問題。

複利計算の問題でしょう！
(1+0.024)^t = 2

ここまでは複利計算のできる中学生あるいは頭のいい小学生の問題。ここから対数をならった高校生（対数は中学で習うのでしたっけ？）の問題。

上式の両辺の常用対数(log)をとると
tlog1.024=log2
t= log2/log1.024
後は常用対数表を使って計算してください。

この回答へのお礼

何故、２なのですか？
毎年、⊿Ｙ/Ｙが2.4％なので
⊿Ｙ/Ｙが100になれば良いとも思いました。
log2.4 100=t
では駄目なのですか？

お礼日時：2020/10/25 11:05