y=logxとy=ax+bが共有点を持たないようなa,bの条件ってどうなりますか？

y=logxとy=ax+bが共有点を持たないようなa,bの条件ってどうなりますか？

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/16 19:50

y = a e^y + b が解を持たないような a,b の条件を求めればよいですね。

f(y) = y - (a e^y + b) と置いて、f(y) の値域を調べてみましょう。

lim[y→-∞] f(y) = -∞ であり、
lim[y→+∞] f(y) は a の正負によります。
a ≦ 0 のときは、
lim[y→+∞] f(y) = +∞ なので、中間値定理より f(y) = 0 は解を持ちます。
a > 0 のときは、
lim[y→+∞] f(y) = -∞ であり、f(y) は最大値を持ちます。
このとき f(y) = 0 に解があるかどうかは、最大値の正負しだいです。

f’(y) = 1 - a e^y より、 y = - log a のとき
f(y) は唯一の極大値である最大値をとります。
その値は、f(- log a) = - log a - (1 + b) です。
これが ≧0 ならば f(y) = 0 には解があり、
<0 ならば解がありません。

以上より、共有点がない条件は
a > 0 かつ - log a - (1 + b) < 0 となります。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2020/11/16 15:02

ちょっとグラフを描いて眺めてみると良いでしょう。

すると、ご質問は「x>0を満たすどんなxについても、y=ax+bのグラフがy=log(x)のグラフよりウエにある」ということの必要十分条件をお求めである。
　　f(a,b,x)=ax+b - log(x)
とします。a,bを定数とした時、f(a,b,x)はx→∞で +∞に発散しますね。
　そこで、a,bを定数とした時のf(a,b,x)の極値をL(a,b)としましょう。すると、極値L(a,b)とはf(a,b,x)の極小値のことであり、しかもL(a,b)はf(a,b,x)の最小値である。すなわち、
　　L(a,b)>0
こそが、ご質問でお求めの必要十分条件です。（是非、この意味をグラフで確かめてください。）
　さて、f(a,b,x)が極値（つまり極小値）を取るxは（a,bを定数として）
　　df/dx = 0
を満たす。あとは、これを解いた結果を使ってL(a,b)を計算するだけ。もう出来るでしょ。

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2020/11/16 13:53

y=logxの接線のｘ₀での方程式を、ｙ＝1/x₀＊ｘ＋ｂ　ｘ＞０

とした場合、共有点を持たないためには
1/x₀＊ｘ＋ｂ＞ax+b
(1/x₀－a)x>0 , x>0なので
(1/x₀－a)＞０
1/x₀＞a

No.1 回答者： 酪酸納豆復活 回答日時： 2020/11/16 13:20

a≠e^(b+1)