微分のイメージが湧きません。 独学で微分の勉強をしている中学生です。 100mのロープで花壇をつくる

微分のイメージが湧きません。

独学で微分の勉強をしている中学生です。

100mのロープで花壇をつくる問題(４本の杭を立てて、その回りをロープで囲んで花壇をつくる)

この問題を微分を使って計算すると、正方形25m×25mが一番大きな面積となることがわかります。

微分の計算方法や増減表、グラフの書き方などは理解できるのですが、【直感的】に理解できない部分もあります。

100mのロープと決まっているのですから、例えば縦10m×横40mだと面積が400になりますが、花壇の周の長さは変わらないのに、どうして面積が変わるのかいまいちピンときません。

25×25も、12.5×50でも同じ極大になるのに、なぜ答えが25になるのですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2020/11/19 12:59

長方形の面積とすると２辺の合計は５０ｍなので、一辺をＡとするともう一辺は（５０－Ａ）なので、

面積Ｓは
Ｓ＝Ａ（５０－Ａ）＝５０Ａ－Ａ＾２＝６２５－（Ａ－２５）＾２
となります。
６２５－（Ａ－２５）＾２が最大なのは、（Ａ－２５）＝０、すなわちＡ＝２５のときです。

微分など使わなくても、一辺が２５ｍのときが最大になることは求められます。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/11/17 15:23

36になる掛け算を考えてみます

1x36=36 (1+36=37)
2x18=36 (2+18=20)
3x12=36(3+12=15)
4x9=36(4+9=13)
6x6=36(6+6=12)
これは同じ面積36を作るにしても
縦横の長さが異なり、必要なロープの長さが異なることを示しています
で、みて分かる通り　余計にロープが必要なのが　
縦（または横）をより短くした場合です
反対に縦横のバランスをできるだけ取って　縦と横の長さを等しくさせたときには最も短いロープで面積36を作り出せることがわかります
つまり、決まった長さのロープで長方形を作り、面積を最大にしたいなら
最も縦横の長さのバランスが取れた正方形にすればよいということなのです

なお、あなたの言う「極大」　その意味をよく理解していますか？
今回の問題で　縦の長さをxmとすれば　横は50-x[m]なので
面積yは
y=x(50-x)=-x²+50x
このグラフのｙ座標について、局所的な最大値のことを極大というのですよ
微分によりこのグラフで局所的に最大となる部分はx=25の部分だとわかりますよね
x=12,5やx=50ではグラフの極大部分（局地的な最大部分）にはなっていないから　これらは極大ではないのですよ
その証拠に、縦：x=25では、横x=50-x=25
で面積は25x25=625
先ほど解説した通りで正方形だから100mロープでつくる長方形の面積としては625が最大（むろん局所的にみてもx=25の時の面積は最大なんで、
x=25の面積625は極大でもある）
縦x=12.5なら　横:50-x=37.5
この時の面積は468.75で　625には及ばないので極大とは言えない
貴方の間違いは　縦12.5のとき横が５０になると誤解しているところで
正しくは12.5x37.5になるから　これは極大ではないのです
（縦x=50の場合でも同じこと、　縦x=50なら　横:50-x=0
この時の面積は0で　625には及ばないどころか面積の最小値となってしまうので縦=50でも面積は極大ではない）

No.1 回答者： metabolian 回答日時： 2020/11/17 07:13

>花壇の周の長さは変わらないのに（以下略）

方眼紙に
「1辺 4cmの正方形」
「縦3cm 横5cmの長方形」
「縦2cm 横6cmの長方形」
…を実際に書いてみると、何か気づく
かもしれません。
あと、12.5×50 だと周の長さは
100になりません。
横が50cmだと縦は0cmで、
面積は0㎠です。
ちなみに、花壇の片方の辺をxとすると、
f(x)=x(50-x)、f‘(x)=-2x+50
f‘(x)=0の時、x=25。
0<x<25のとき、f‘(x)>0で、f(x)は単調増加。
x=25で極大値 625をとる。
25<x<50のとき、f‘(x)<0で、f(x)は単調減少。
y=f(x)は、(0,0)と(50,0)を通り、
(25,625)を頂点に持つ、
上に凸な放物線になります。