糸の張力の単振動

画像のように質点がy軸方向に運動する問題です。
糸の復元力は係数k×(糸の伸び)で与えられています。
y<<Lとsinθ≒tanθの条件があります。
おそらく、単振動をすると思いますが、近似を行なって運動方程式がどうなるか教えて欲しいです。
また、その運動方程式にdy/dtを両辺に掛けて、エネルギー積分も求めたいので、そちらも教えていただけると助かります。

質問者からの補足コメント

• ご協力ありがとうございます。
  問題では鉛直方向となっていますが、重力は無視するようです。
  説明不足ですみません。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/11/27 23:21

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/11/28 14:03

No.1 です。

「補足」を見ました。

＞問題では鉛直方向となっていますが、重力は無視するようです。

はあ、そうですか。

だったら、働く力は「糸（ゴムひも）」の復元力だけです。
この糸を「２本のばね」と考えましょう。

変位が y のときの、ばねの中立位置からの伸びは
　x = y*sin(θ)
従って、１本のばねの復元力は
　F = -kx = -ky*sin(θ)
その y 方向の成分は
　Fy1 = F*sin(θ) = -ky*sin^2(θ)
ばねは２本あるので、y 方向の合力は
　Fy = 2 * Fy1 = -2ky*sin^2(θ)　　　　　①

ここで、
　sin(θ) = y/√[y^2 + (L/2)^2]
なので、①は
　Fy = -2ky^3 /[y^2 + (L/2)^2]

従って、運動方程式は

　m*d^2(y)/dt^2 = -2ky^3 /[y^2 + (L/2)^2]　　　　　②

これをどうやったら解けるのかよく分かりませんが、単純な単振動ではないですね。

ここからどのように「近似」せよと言っているのかよく分からないが、
y<<L なので tanθ ≒ sinθ の近似を使えということは
　y^2 + (L/2)^2 ≒ (L/2)^2
で、②を

　m*d^2(y)/dt^2 = -2ky^3 / (L/2)^2
　　　　　　　= -8ky^3 / L^2　　　　　　③

とするのかな？

これをエネルギー積分したいということは、③を y で積分して、
dy/dt = v と書けば

左辺 = ∫[m*d^2(y)/dt^2]dy = ∫[m*dv/dt]dy = m∫[m*dv/dt][dy/dt]dt
　　 = ∫[m*dv/dt]vdt
　　 = ∫d/dt[(1/2)mv^2]dt
　　 = (1/2)mv^2

右辺 = ∫[-8ky^3 / L^2]dy = -2ky^4 / L^2 + C　（C：積分定数）

以上より、
　(1/2)mv^2 = C - 2ky^4 / L^2　　　　　④

これは
　(1/2)mv^2 + 2ky^4 / L^2 = C
ということで、系の運動エネルギーとばねの弾性エネルギーに相当するものが一定に保存されることを意味します。

たとえば、最初に「引っ張って放す位置」つまり最大変位を y0 とすれば
　0 = C - 2k(y0)^4 / L^2
→　C = 2k(y0)^4 / L^2
なので、④は
　(1/2)mv^2 = (2k/ L^2)[(y0)^4 - y^4]　　　　　⑤
で系の運動エネルギーとばねの弾性エネルギーの関係を表すかな？

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/11/27 23:15

「糸」というより「ばね」「ゴムひも」ということですね。

y 軸は水平方向ですか？　それとも鉛直方向？
それによって変わります。