点列が収束するなら極限点は一意的に定まることを示せ。 どなたか詳しい回答をお願いします。

点列が収束するなら極限点は一意的に定まることを示せ。
どなたか詳しい回答をお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/11/28 16:48

N=(全自然数の集合)

{↑x(n)}_{n∈N}を点列とする
点↑a,↑bに対して
lim_{n→∞}↑x(n)=↑a
lim_{n→∞}↑x(n)=↑b
とする
極限の定義から
任意のε>0に対して
ある自然数n_1が存在して
n>n_1となる任意の自然数nに対して
|↑x(n)-↑a|<ε
任意のε>0に対して
ある自然数n_2が存在して
n>n_2となる任意の自然数nに対して
|↑x(n)-↑b|<ε

↑a≠↑b
と仮定すると
ε=|↑a-↑b|/4とすると
このε>0に対して
ある自然数n_1が存在して
n>n_1となる任意の自然数nに対して
|↑x(n)-↑a|<ε=|↑a-↑b|/4

ε>0に対して
ある自然数n_2が存在して
n>n_2となる任意の自然数nに対して
|↑x(n)-↑b|<ε=|↑a-↑b|/4

n_0=max(n_1,n_2)とすると
n>n_0となる任意の自然数nに対して
|↑x(n)-↑a|<ε=|↑a-↑b|/4
|↑x(n)-↑b|<ε=|↑a-↑b|/4

|↑a-↑b|≦|↑x(n)-↑a|+|↑x(n)-↑b|<|↑a-↑b|/2<|↑a-↑b|
となって矛盾するから
↑a=↑b