三次元直交座標と極座標の関係

それぞれの全ての座標は他方の全ての座標と一対一に対応しますか？

質問者からの補足コメント

• 全単射ではない。これでOKですかね。

    補足日時：2020/12/01 18:43

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2020/12/01 16:08

しない。

　(x,y,z) = (0,0,0)が対応する極座標(r,θ)の成分は？
r=0は決まるけどθは何でもいいですよね。

この回答へのお礼

なるほどです！ありがとうございます！

お礼日時：2020/12/04 16:38

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/12/01 15:21

空間の「座標」ということであれば一対一に対応します。

しかし、単純な「座標、位置ベクトル」ということではない、ベクトル全般や「速度」「加速度」といった「時間変化」や「微分、積分」といったものが関係してくると、単純な対応ではなくなります。
「基準ベクトル（基底ベクトル）」のとり方が異なることにより、他の座標系からみると「基準ベクトル（基底ベクトル）」自体が変化するためです。

この回答へのお礼

広げた説明ありがとうございます！

お礼日時：2020/12/04 16:37

No.1 回答者： CuriousLupin 回答日時： 2020/12/01 15:06

必ず一対一対応します。

直交座標で任意の(x,y,z)を考えると、それに対して一意に(r,θ,φ)に変換できるし、逆もまた正しいです。
（また、空間中の任意の点を考えると、どちらの座標でも、一意に座標が決まりますよね。）

この回答へのお礼

ありがとうございます！
no3でsさんに指摘された通りのようです。

お礼日時：2020/12/04 16:36