ｘ＾２＋ｙ＾２＝１とπとの関係

円の方程式をいくら眺めていてもπは見えてきません。しかし面積を積分で計算すると突然という感じでπが出現するように思うのですが、どこからπは出てくるのですか？あるいはπはどこに隠れていたのでしょうか？

No.7 ベストアンサー 回答者： shkwta 回答日時： 2005/02/06 19:03

たとえば原点を中心とする半径１の円を考えるとして、

f(x) = (1 - x^2)^(1/2)
これを積分すると（証明は、逆に微分してみてください）、
F(x) = -(1/2)arccos(x) + (1/2)x(1 - x^2)^(1/2) + C
ここで、arccosはcosの逆関数を示します。
たとえば、θ= arccos(0.5)とは、cosθ=0.5となるθ

この積分でたとえば、xが0から1の定積分をとって四分円の面積を求めると
F(1) - F(0) = -(1/2)arccos(1) + (1/2)arccos(0)
arccos(1)は0で、arccos(0)はπ/2なので、
F(1) - F(0) = π/4

つまり、arccos(0)のところでπが出現していることがわかります。
その理由をたどっていくと、弧度法(１周が2π)を使っているところに原因があります。
つまり、cos(x)のxによる微分が　-sin(x)になるためには、xは弧度法で表わされていなければなりません。そこをさらに追求すると、
lim[x→0](sin(x)/x)
この式が1になるためには、xは弧度法でなければなりません。sin(x)は弦の長さ（の半分）であり、xは「弧度法であれば」弧の長さを表わします。上の式は、角が小さいときは弦の長さが弧の長さで近似できることを示します。
長くなりましたが、このようにして、結局「円周の長さが2πである」というところにπの発生源が行き着きます。

No.6 回答者： kochory 回答日時： 2005/02/06 18:55

円の面積の求め方について、面白いアニメーションを

見つけたので紹介させてもらいます。

http://park10.wakwak.com/~na_ama1/ap12/Page1.htm

ここにあるように、

「円の面積は、円周の長さを底辺、高さを半径とする三角形の面積と同じ」

になります。

さて、ｘ＾２＋ｙ＾２＝１をいくら眺めてもπが見えてこないのは、
この式には「円周の長さ」がどこにも表されていないからです。
この式は、「円周上のそれぞれの点が中心からどれだけの距離の
所にあるか」を表しているだけで、「それぞれの点をつないだときに
どれだけの長さになるか」ということについては何も表して
いないのですね。

ですが、上で紹介したアニメーションにあるように、
円の面積を求めるには、その、式に表されている「円周上の
各点の中心からの距離」から、式に表されていない「円周の長さ」
を出さなくてはいけないわけです。
そのときにπが出てくるわけです。

円周率の定義から考えて、この部分でπが必要になるというのは
もっともなことだと思いませんか？

参考URL：http://park10.wakwak.com/~na_ama1/ap12/Page1.htm

No.5 回答者： Piazzolla 回答日時： 2005/02/06 18:51

質問の答えにはなっていませんが、この式が円になってるということが、イメージできたのは、位相差の測定でリサージュ波形を見たときでした。

x=sinθ
y=cosθ
と置くと、(sinθ)^2＋（cosθ）^2=1
という公式もありましたが、
x軸にsinθ、ｙ軸にcosθの波形を加えて、プロットしていくと、円が描けます。

No.4 回答者： BLUEPIXY 回答日時： 2005/02/06 18:36

ｘ＾２＋ｙ＾２＝１

を別の形に書き換えると
x=cosθ,y=sinθ
になると思います。
このθは、積分する時にラディアンを使うと思いますが、
ラディアンとは、弧に対する半径の比率で表しますから
角＝弧／半径
弧＝円周を幾分かに分けたもの＝円周／ｘ
円周＝２×π×半径
角＝弧／半径＝（２×π×半径／ｘ）／半径＝２×π／ｘ
ということで、πがでてきました（＾＾）

No.3 回答者： tnt 回答日時： 2005/02/06 18:26

面白いご質問ですね。

確かにご指摘の通りです。

では、何処に隠れていたのか、
まず、大学生向けの回答から書きますと、
円の方程式を原点からの関数
ｙ=ａ*sinθ　x=a*cosθ　で記述して、
これをθで積分するときに、
円周、すなわち３６０度、言い換えれば２πで積分する事でπが面積に出現します。
角度で規定される物にはπは付き物です。

次に小学生向け
πは円周と直径の比率です。
だから、円の形の中に潜んでいます
曲がっている円、それとその外側の正方形の比率とも
言えます。
で、面積を出すときには
直径＊直径が円の外接正方形の面積になりますが、
この外接正方形の面積のπ／４が円の面積です。

つまり、直径＊直径＊π／４＝円の面積　であり、
直径＝２＊半径なので
半径＊半径＊π＝円の面積なのです。

わかったようなわからないような答えですみません。

No.2 回答者： 0shiete 回答日時： 2005/02/06 18:23

ｘ＾２＋ｙ＾２＝１は半径１の円を表しています。

そして、円の面積の公式は

πr^2

ですよね。ですからこの方程式の表す面積はπです。

No.1 回答者： yamaichiro 回答日時： 2005/02/06 18:20

単位円の面積がπなのだそうです。

他にもいろんな定義があるとか。

参考URL：http://akademeia.info/main/math_lecturez/math_ty …