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添付のような円錐の展開図を作りたいのですが、どのようにすればいいのか、分かりません。
上面が周囲365mm(直径116mm)、底面が周囲720mm(直径229m)です。
高さは斜め部分で430mmとなります。
当方デザイナーで、このような形のものに印刷するデザインを作らねばならず、展開した平面図が必要となります。
ご回答のほど、よろしくお願いします。

「円錐の展開図面を描きたい」の質問画像
gooドクター

A 回答 (5件)

要は添付図のサイズを求めればよい・・


なお、正確に計測できるのは直径か円周だと思います。変形しない正確な円でしたら直径でしょうが紙コップのように柔(やわ)なものでしたら、円周を測るほうが良いでしょう。
 ・・・与えられた周囲365mm(直径116mm)、底面が周囲720mm(直径229m)は矛盾しています・・・
 ここでは、円周が正確として計算します。

斜辺の長さがわかっている場合は簡単に計算できます。高さだとややこしくなりますが・・
 添付図のように、円周の長さの比がわかっているので外側の円と内側の円の半径の比も決まります。
 次の連立方程式を解くことになります。360度を1としたときの角度をxとします。
2πRx = 720
2πrx = 365
R = r + 430 , r = R - 430

720r = 365R   いきなりこの式でもよい--ひらめきの良い人は(^^)
365R = 720r   いきなりこの式でもよい--ひらめきの良い人は(^^)
R = r + 430 , r = R - 430
(3)式を(1)、(2)式に代入

720r = 365(r+430)
365R = 720(R-430)

(720-365)r = 430*365
(720 -365)R = 430*720

355r = 430*365
355R = 430*720

r = 442   小さい円の半径
R = 872   大きい円の半径

最後に、周長の比から
x = 720/2*π*872 = 0.13141
360×0.131412 = 47.31°
「円錐の展開図面を描きたい」の回答画像5
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>上面が周囲365mm(直径116mm)、底面が周囲720mm(直径229m)です。



 そもそもこの時点で正確な数字ではないですが。直径が正しいとなると上面の円周は116×πでおよそ364.4mmだし底面の円周はおよそ719.4mm。

 とりあえず直径の方ベースで小数点以下1桁で四捨五入の数字出すと、中心角θが46.8度で半径rが875.7mmの扇型から半径rが445.7mmの扇型を削った形。用語の意味は以下参照。

http://www.weblio.jp/wkpja/content/%E6%89%87%E5% …
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まず、底面と上面はそれぞれ直径229mm、直径116mmの円になるのは問題ないと思います。


側面の形ですが、参考URLの画像のように、扇子の和紙を貼った部分のような形になりますね。大きな扇形から小さな扇形を取り除いたような形です。

問題はこの扇子の軸から和紙部分の外側の円弧(曲線)までの長さ、つまり大きい方の扇形の半径と、扇形の角度が何度になるかということになります。

外側の扇形の半径をR、内側の扇形の半径をrとすると、

R-r=430mm         (1)

ですね。
それから、外側の扇形と内側の扇形は相似形なのですが、
外側の円弧の長さは720mm、内側の円弧の長さが365mm、なので、

R:r=720mm:365mm       (2)

これを変形すると、

r=R×(365mm/720mm)       (3)

となります。(3)を(1)に代入すると、

R-R×(365mm/720mm)=430mm       (4)

となり、これを解くと

R≒871.1mm

となります。つまり、扇子の半径は871.1mmになります。
内側の扇形の半径rは、これより430mm短いので、

r=441.1mmとなります。

次に扇形の角度を求めます。

扇子の半径871.1mmですが、半径871.1mmの円の円周は871.1×2×3.141=5473.3mm
この円周に対して、扇形の円弧の長さは720mmなので、

720mm÷5473.3mm×360度≒47.4度

となります。

ただ、これらの計算には僅かですが誤差が出ます。
ひとつは計測した時の誤差、それから、円周率を3.14で近似している誤差、
計算を四捨五入しながら進めている誤差などです。

デザインされたものをどのようにその形にしていくかわかりませんが、
一度この大きさの型紙を切り抜いて、
それを実際のコップ状のその形のものに巻きつけてみて、
誤差がどれくらいなのかを確認してみることをお勧めします。

参考URL:http://sensu.tokuchuu.com/new/msg_7025002.html
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実際に平面図が描けるかどうかはともかく、数学的に考えると以下の方法となるでしょう。


添付のような立体を円錐台と呼びます。これの2つの底面は円ですので問題ないでしょう。
側面ですが立体自体が大きい円錐から小さい円錐を取り除いた形をしておりますので、大きい円錐の側面の扇形から小さい円錐の側面の扇形を取り除いた形になりますね。
問題はその大きさなどですが、円錐台の正面図を考えて、2本の斜め線(母線)を延長し三角形を作る。こうしてできた大きい三角形と小さい三角形の相似の関係から大きい円錐の母線の長さを求める。母線と底面の半径の比から側面の扇形の中心角を求める。という手順になるかと思います。
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手元に紙コップがあるなら, それを切って広げてみれば形は想像できるのでは?

この回答への補足

想像はできますが、正確な図面の作成を必要としています。

補足日時:2013/03/04 13:23
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