
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
h~h+dhの部分の側面の面積はどれくらいかしっかりと考えてみましょう。
この部分は帯状になっています。帯の長さは2πr*(h/ho)となりますが幅はどれくらいでしょうか。
質問者はこの幅がdhであると思っているようですが違います。
この帯の幅はdhよりも長くなります。
頂点から底面に下した垂線と母線がなす角をθとするとこの部分の幅は
dh/cosθ
となります。hの幅はdhですが、側面は斜めになっているためdhよりも長く1/cosθ倍になっているのです。
cosθ=ho/√(ho^2+r^2)
ですから求める面積の式は
∫[0→ho]2πr×(h/h₀)dh*√(ho^2+r^2)/ho
となります。
No.3
- 回答日時:
あなたが考えた式ではNo.1の方が言うように円柱の側面積になりますね。
つまり、考えた式が間違っているわけです。
ではどう考えたらよいのかを述べておきます。
円錐の展開図を思い浮かべてください。
底面の円の円周2πrを積分したいと考えて、
これを直接、頂点からの垂線方向に積分した式を考えたのでしょう。
しかし、この垂線は底面の円の円周に接していません。
積分する際には接する線で考える必要があるのです。
(これが円の面積であれば接しているので問題ありません)
つまり、頂点から円周に接している線は、円錐の扇形の半径のほうになります。
円錐の扇形の半径R=√(r^2+h₀^2)
今回の場合、これを用いて積分する必要があったわけです。
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