円錐の側面積について。 面積を円周を積分することによって算出すると、高さをh₀、半径をrとし、 ∫[

円錐の側面積について。
面積を円周を積分することによって算出すると、高さをh₀、半径をrとし、
∫[0→h₀]2πr×(h/h₀)dh
すなわち、πrh₀ になるはずなのですが解答の値とは異なります。
どこが間違えかご指摘いただけませんか。

No.4 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/05/04 16:20

h～h+dhの部分の側面の面積はどれくらいかしっかりと考えてみましょう。

この部分は帯状になっています。帯の長さは2πr*(h/ho)となりますが幅はどれくらいでしょうか。
質問者はこの幅がdhであると思っているようですが違います。
この帯の幅はdhよりも長くなります。

頂点から底面に下した垂線と母線がなす角をθとするとこの部分の幅は
dh/cosθ
となります。hの幅はdhですが、側面は斜めになっているためdhよりも長く1/cosθ倍になっているのです。

cosθ=ho/√(ho^2+r^2)

ですから求める面積の式は

∫[0→ho]2πr×(h/h₀)dh*√(ho^2+r^2)/ho

となります。

この回答へのお礼

納得しました！たすかりました！

お礼日時：2017/05/04 16:30

No.3 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/05/04 16:08

あなたが考えた式ではNo.1の方が言うように円柱の側面積になりますね。

つまり、考えた式が間違っているわけです。
ではどう考えたらよいのかを述べておきます。

円錐の展開図を思い浮かべてください。
底面の円の円周2πrを積分したいと考えて、
これを直接、頂点からの垂線方向に積分した式を考えたのでしょう。
しかし、この垂線は底面の円の円周に接していません。
積分する際には接する線で考える必要があるのです。
（これが円の面積であれば接しているので問題ありません）

つまり、頂点から円周に接している線は、円錐の扇形の半径のほうになります。
円錐の扇形の半径R=√(r^2+h₀^2)
今回の場合、これを用いて積分する必要があったわけです。

No.2 回答者： Ae610 回答日時： 2017/05/04 16:02

円柱の側面積・・!?　なのか?

円錐の側面積・・!?　なのか?

円錐の側面積についての質問ならば・・、
円錐の底面の半径r、高さhとした時
円錐の側面積Ｓはπrhにはならない・・!
円錐の母線の長さをL(=√(r^2+h^2)になるが!)として
側面積は・・

Ｓ=πrL

である・・!
質問者の表した側面積を求めるための積分表式も違っている・・!

この回答へのお礼

積分の式のどこが間違えなのですか。
高さに半径が比例するのでr×(h/h₀)
であっているはずです。
現に体積の公式は同様に導けます。

お礼日時：2017/05/04 16:21

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/05/04 15:20

円周にΔhをかける訳だから微小面積が2πr･Δh

だから∫[0→h₀]2πr dhだね。

∴2πrh₀

この回答へのお礼

それは円柱の側面積では？

お礼日時：2017/05/04 16:19