【数学】一次関数、二次関数、三次関数、四次関数･･･とあると思うんですが、一次関数より二次関数の方が

【数学】一次関数、二次関数、三次関数、四次関数･･･とあると思うんですが、一次関数より二次関数の方が傾きは大きいと思います。(a＞0の時)でも、二次関数にも一次関数より傾きが小さいところがあります。例えば二次関数よ傾きがマイナスだったらそれが言えます。
ここで、一般にどこでｎ+1次関数がn次関数より大きくなるとかわあるのでしょうか？また、どのように求めるなどのやり方はありますか？

No.1 回答者： タムシバ 回答日時： 2020/12/12 06:55

質問者さんの意味がよくわかりません。

一般に，一次関数は直線，二次関数は放物線を描きます。
三次関数以上は，よくわかりませんが・・・
二次関数の傾き？というのは，接線の傾きということですか？

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/12/12 09:01

1次関数と、2次以上の関数の最大の違いは、1次関数は傾きが一定で2次以上の関数は傾きが変数で変化すること。

例えば、1次関数f(x)=x、2次関数f(x)=x^2はf(x)=xはどのようなxであっても傾きは1だが、f(x)=x^2はxの値によって傾きは変化する。
x<1の範囲ではf(x)=x^2はf(x)=xよりも傾きは小さくなる。

一般にn次関数の傾きを求めるには微分する。
傾きは次数の係数にも依存するため、n+1次関数がn次関数の傾きの大小比較は単純に論じれない。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/12/12 09:43

f[n](x)=a[n]xⁿ

(f[n+1](x))'-(f[n](x))'={(n+1)a[n+1]x-na[n]}xⁿ⁻¹>0

x>0 とすると
{(n+1)a[n+1]x-na[n]}>0 → x>na[n]/{(n+1)a[n+1]}

たとえば、x²,x のとき、x>1/2

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/12/12 13:47

f(x) を最高次の係数が正な n 次関数,

g(x) を最高次の係数が正な m 次関数,
n > m とすると、
「x が十分大きいとき」 f(x) > g(x) です。
lim[x→+∞] f(x) - g(x) = +∞,
lim[x→+∞] f(x) / g(x) = +∞ でもあります。

この「十分大きい」というのは、何か定数 c があって
x > c ならば f(x) > g(x) が成り立つ...という意味です。
方程式 f(x) = g(x) の実数解は多くても n 個ですから、
最大の解よりも大きい値に定数 c をとれば十分です。

そのような c の下限を求めるためには
n 次方程式 f(x) = g(x) を実際に解かねばならず、
n ≧ 5 の場合には解の厳密な値が判るとは限りません。
成り立つような c をひとつ見つけるだけなら、
勘でどうにかできる場合が多いでしょうけれども。

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2020/12/12 14:48

一次関数は グラフに書くと 直線ですから、

傾きは 常に一定です。
二次関数以上になると グラフでは 曲線になりますので、
変化の割合（接線の傾き）は x の値によって すべて異なります。
ｎ次関数では プラスからマイナス 又はその逆に 何回も 繰り返します。
又 それぞれの 次数の係数によって 変わりますから
一般的に 云う事は出来ません。

No.6 回答者： tekcycle 回答日時： 2020/12/13 17:55

ｙ＝ａｘ^nを考える。

一般的な、ｙ＝ａｘ^n＋ｂｘ^(n-1)＋ｃｘ^(n-2)＋....
については考えない。
ａ＝1の場合で比較。ｘは０からだんだん正に大きくなる場合を想定します。
ｘのｎ乗を微分すると、その係数はｎですよね。
ｙ'＝ｎｘ^(ｎ－１)
ｘ^(ｎ－１)が1／ｎで傾きが1。
1次関数とｎ次関数とを比べると、ｘ＝ｘ^(ｎ－１)のときに傾きが同じになり、そこから傾きを増してそのうち追いつき追い越すわけです。
当たり前ですが、1のｎ乗は1ですので、ｘ＝1のときに追いつきます。
これは、ｎ－１乗とｎ乗とｎ＋１乗とでどれも同じです。
ｎ次関数とｎ＋１次関数の傾きを比べると、
ｙ'＝ｎｘ^(ｎ－１)
ｙ'＝(ｎ＋１)ｘ^(ｎ)
これが等しくなるｘの値は、
ｎｘ^(ｎ－１)－(ｎ＋１)ｘ^(ｎ)＝０
＝ｎｘ^(ｎ－１)－(ｎ＋１)・ｘ・ｘ^(ｎ－１)
＝{ｎ－(ｎ＋１)ｘ}・ｘ^(ｎ－１)
冒頭の通りｘ＞０だからｘ^(ｎ－１)≠０
∴ｎ－(ｎ＋１)ｘ＝０
ｘ＝ｎ／(ｎ＋１)
＝(ｎ＋１－１)／(ｎ＋１)
１－１／(ｎ＋１)
のところで傾きが並び、以後は次数の多い方が傾きが大きい。

あなたが聞きたいことがなんなのか、文章が酷くて理解できませんが、例えばこんな辺りは。