確率統計についての質問です。

平均 µ = 170，分散 σ^2 = 82 の正規分布から 9 個の無作為標本 X1, X2, · · · , X9 を得たとします。次の問題について教えて下さい
X3 が 180 以下となる確率
無作為標本の中の少なくとも 1 つが 185 以上である確率
合計 X1 + X2 + · · · + X9 が 1500 以下である確率

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2020/12/16 09:45

企業で統計を推進する立場の者です。

ヒントです。
分散＝81なら計算する気が出ますが、こういう半端な数字で問題を作るってどういう神経かしらね。

(1)あるサンプルｘはｘ∈Ｘです。正規分布Ｎ（170，82）の確率密度曲線の面積はサンプルの出現確率を与えます。
(2)少なくとも１つっていうケースは、全てのサンプルが・・・の排他です。
(3)この合計を９で割れば平均です。平均はＮ（170，82/9）に従います。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/12/16 10:24

正規分布の確率分布の特性（平均値を中心に左右対称）と、任意の正規分布を「標準正規分布」に規格化し、「標準正規分布表」から「統計量から確率を求める」あるいは「確率から統計量を求める」という基本問題です。

「正規分布」は全ての統計分布の基本で、「標準正規分布表を読む」というのがいろいろな場面でほぼ「必須」になりますので、ここでその「基本、基礎」を理解・マスターしておかないと、この先「お先真っ暗」になりますよ。
（エクセルや関数電卓を使えば「標準正規分布」の計算はできますが、「上側確率」とか「下側確率」などの「考え方」から判定するには、アナログながら「標準正規分布表を読む」のが一番分かりやすいです）

標準正規分布表は、テキストの巻末に必ず載っていますが、例えば下記を使用　↓　
https://staff.aist.go.jp/t.ihara/normsdist.html

(1)「平均 µ = 170，分散 σ^2 = 82 の正規分布」の統計量 X を「規格化」して「標準正規分布」にするために
　Z = (X - µ)/σ
の変換をすれば、X = 180 に対する Z は
　(180 - 170)/(√82) = 1.104315･･･ ≒ 1.10
この統計量 Z に対する確率を「標準正規分布表」から読み取れば

P(X≦180) = P(Z≦1.10) = 1 - P(1.10≦Z) = 1 - 0.135666 = 0.864334
≒ 0.864

(2) 同様に、X = 185 に対する Z は
　(185 - 170)/(√82) = 1.65647･･･ ≒ 1.66

P(185≦X) = P(1.66≦Z) = 1 - P(1.10≦Z) = 0.048457
≒ 0.048　　　　②

9個のサンプルのうち「少なくとも1個」が 185以上である事象は、9個すべてが185未満である事象の余事象であるから、少なくとも1個が 185以上である確率は、１から「9個すべてが185未満である確率」を引けばよい。

185未満である確率は、②より
　P(X<185) = 1 - P(185≦X) = 0.952
なので、、９個すべてがこれである確率は
　0.952^9 = 0.642292･･･ ≒ 0.642

従って、少なくとも1個が 185以上である確率は
　1 - 0.642 = 0.358

(3) 9個のサンプルは母集団の平均周りに分布すると考えられるので、9個の平均の期待値 Xbar は母集団の平均に一致する。
　Xbar = μ

また、各々のサンプルの分散の期待値は σ^2 になるので、無作為に抽出した9個のサンプルの分散の期待値は
　s^2 = 9σ^2
となる。

従って
　Y = X1 + X2 + ･･･ + X9
の平均の期待値は 9μ、分散の期待値は 9σ^2 になる。
つまり Y は N(9μ, (3σ)^2) の正規分布をする。

これを「規格化」して「標準正規分布」にするために
　Z = (Y - 9µ)/(3σ)
を計算すれば、Y = 1500 に対する Z は
　(1500 - 170*9)/(3*√82) = -1.104315･･･ ≒ -1.10

従って、
　P(Y≦1500) = P(Z≦-1.10) = P(1.10≦Z) = 0.135666
≒ 0.136