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次の③のx∧nの係数がなぜそうなるのかが分かりません。ご教授下さい。

「二項定理について。」の質問画像
gooドクター

A 回答 (4件)

(1 + x)^nのx^rの項は、nCr(1)^(n-r)x^r


(1 ‐x)^nのx^(n-r)の項は、nC(n-r)(-1)^rx^(n-r)
nCr(1)^(n-r)x^r*nC(n-r)(-1)^rx^(n-r)=(nCr)^2*(-1)^r*x^n
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x^rの項は、nCr(1)^(n-r)x^r・・①’=nCrx^r


x^(n-r)の項は、nC(n-r)(-1)^rx^(n-r)・・②’=nCr(-1)^r*x^(n-r)
①’x②’=nCr(‐1)^(r)x^n、x^n係数は(nCr)^2(-1)^r
全てのx^nの係数は、r=0~nとn=0~nのくみあわせで
(nC0)^2-(nC1)^2+(nC2)^2-(nC3)^2+-----+(-1)^n(nCn)²

一方、(1+x)^n(1-x)^n=(1-x^2)^nから
nC0 +(-1) nC1x² +(-1)^2 nC2x^4 + … +(-1)^(n-1) nC(n-1)x^2(n-1) + (-1)^(n)nCnx^2n
xの奇数乗はないので、xの奇数乗は無いから係数もない。
あるのは、xの偶数乗だけ。
(-1)^(n)nCnx^2n
2n=kとすると係数は
(-1)^(k/2)nC(k/2)
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この回答へのお礼

すみません。x∧rの項で、なぜ、(1)になっているのでしょうか?(ー 1)となるのではないのでしょうか?ご教授下さい。

お礼日時:2020/12/19 21:29

(1 + x)^n = nC0 + nC1x + nC2x^2 + … + nC(n-1)x^(n-1) + nCnx^n・・・①


 x^rの項は、nCr(1)^(n-r)x^r・・①’
(1 ‐x)^n = nC0 +(-1) nC1x +(-1)² nC2x^2 + … + (-1)^(n-1)nC(n-1)x^(n-1)
+(-1)^n nCnx^n・・・②
x^(n-r)の項は、nC(n-r)(-1)^rx^(n-r)・・②’
よって、x^nの係数は①'x②’=(nCr)^2(-1)^r
全部で (nC0)^2-(nC1)^2+(nC2)^2-(nC3)^2+-----+(-1)^n(nCn)²

(1 – x²)^n = nC0 +(-1) nC1x² +(-1)^2 nC2x^4 + … +(-1)^(n-1) nC(n-1)x^2(n-1) + (-1)^(n)nCnx^2n
n=2k+1{奇数}の時、x^(2k+1)の項は存在しないので、0
(nC0)^2-(nC1)^2+(nC2)^2-(nC3)^2+-----+(-1)^n(nCn)²=0
n=2kの時(偶数)の時、x^2kは最後の項の係数(-1)^(k)nCkしかない。
2k=nで表すと、(-1)^(n/2)nC(n/2)
(nC0)^2-(nC1)^2+(nC2)^2-(nC3)^2+-----+(-1)^n(nCn)²= (-1)^(n/2)nC(n/2)
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この回答へのお礼

x∧rの項はの所からご教授下さい。すみません。

お礼日時:2020/12/19 16:20

みえない.

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この回答へのお礼

(2)nC0∧2ーnC1∧2+nC2∧2、、、+(ー 1)∧nnCn∧2という式の問題です。
ご教授下さい。

お礼日時:2020/12/19 10:03

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