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複素数体 C の 2 つの部分環
Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z} (ただし, i = √−1)

Z[√2] = {a + b√2 | a, b ∈ Z}
を考える. このとき, Z[i] と Z[√2] は (環として) 同型でないことを示せ.

どなたか途中式を含めて解答してもらえると幸いです。

A 回答 (1件)

Z[i] には、方程式 x^2+1=0 の解 x = i があるが、


Z[√2] には、(a+b√2)^2+1>0 だから x^2+1=0 の解が無い。
同型写像で i が移る先が Z[√2] には無いことになる。
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