至急解説をお願いします。 250分のn2乗と、256分のn3乗が共に整数となるような最小の正の整数n

至急解説をお願いします。
250分のn2乗と、256分のn3乗が共に整数となるような最小の正の整数nの値を求めなさい。

という問題で答えがn=200
となっていました。

なぜこうなるのか分からないので解き方の解説をよろしくお願いします。

また、この問題に似た練習問題をご存知でしたら教えてください。

No.1 回答者： MayTyu 回答日時： 2021/01/17 16:56

n²/250　と　n³/256　

250を素因数分解すると2×5³。
256を素因数分解すると2⁸。
であるから条件を満たすnは2と5を素因数にもつ
よって条件を満たすnを2^a・5^bと置くと
n²/250＝2^2a・5^2b/2×5³=2^{2a-1}・5^{2b-3}
n³/256＝2^3a・5^3b/2⁸=2^{3a-8}・5^2b

これらがすべて整数となるからa>=0, b>=0であることは確実。また、
2a-1>=0 2b-3>=0 3a-8>=0　のいずれもみたすa,bがある。
これを解いて
a>=8/3 , b>=3/2
これを満たす最小のa,bは3,2
従ってn=2³×5²＝200

以下に練習問題を載せておきます。上の問題は甲南大学で出た問題に似ていますし、大学の過去問やチャー○式などの問題にも出ていますのでそういったものを参考にしてはどうでしょうか。ちなみに第1問②は甲南大学で出た問題です。他は自作です。
練習問題　
第1問　次の条件を満たす最小の整数nの値を求めよ。
①　n²/21609　と　n³/19683
②　　n²/250　と　n³/256　と　n⁴/243
第2問　次の条件を満たす最大の整数nの値を求めよ。
①　108/n²　と　59049/n³
②　1925/n²　と 4375/n³　と　34375/n⁴








解答
第1問
①　1323
②　1800
第2問
①　3
②　5