【数学A/場合の数】 Ｑ．6人をA,B,Cの3つの組に分ける方法は何通りか。 ただし、各組に少なくと

【数学A/場合の数】

Ｑ．6人をA,B,Cの3つの組に分ける方法は何通りか。
　　ただし、各組に少なくとも1人は入るものとする。

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まず6人の中から3人選び、A,B,Cの組に入れる方法で、
　　₆P₃（通り）
残りの3人をABCのどれかに入れる方法で、
　　3³（通り）
それぞれをかけて、
　　₆P₃ × 3³ ＝3240（通り）

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　正答は[540通り]で、これの“6倍”の計算結果になってしまいました。これは何が原因なのでしょうか…。やはりきちんと全事象から余事象引いて〜ってやるべきなのでしょうか…。

No.4 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/02/07 15:46

Tacosanも指摘されていますが・・・

6人に１から６の背番号をつけます
6P3の意味は
6人から3人選んで並べる方法
この6P3＝１２０とおりの中の一例には
選んだ3人が1,2,3でその並びが1-2-3というものがありますよね
これがAに入るのが１
Bに入るのが２
Cに入るのが3という意味だとします
（選んだ3人の並びが3-1-2なら　A=3,B=1,C=2です）
A=1
B=2
C=３
に入ったとして3³=27の計算では
のこりの4,5,6がみなAに入るケースを27通りのうちの１つとして計算していますよね
トータルで
A=1,2,3,4
B=2
C=3
これを1通りとカウントしたことになりますで
この入り方が3240のなかのうちの一つということになります

さて、初めの計算で選んだ3人が234で
4-3-2という並びも
6P3=120のなかの1例です
A=4,B=2,C＝３に入った状態で
のこりの1,5,6がみなAに入るケースは27通りの中の1例です
トータルで
A=4,1,5,6
B=2
C=3
も3240のなかの一つです
で、よく見るとこの2ケースはB,Cは明らかに同一の人
Aの中も順番違いはあるがメンバーは同じで重複
このような重複が考慮されていないんで6P3x3³ではNGですよね

模範解答は伊達に「模範」ではなくて
解答作成者が、学習者にとって最適と思われるもの（発想が飛躍しすぎている物でなく、できるだけ省エネもの）となるように熟考して書かれているはずです
まずは、模範解との解き方を素直に受け入れて、身に着けるのが数学上達への近道だと思いますよ

この回答へのお礼

その通りですね…。最近この単元を重点的にやっているのですが、｢この解法の方が楽じゃない？｣と思った解法はつくづく重複が発生してしまいます…。
回答してくれた皆様のようにこのような単元をこなせる人は、どのような思考回路なのでしょうか…。経験もあるので大方はパターンとして身についてるのかもしれませんが、ふと、この解き方はどうだろうと思う時があると思います。その時に、すぐにパッと｢あ、重複できちゃうな｣などと気づいて、少し変えたりシフトチェンジしたりできるものなのでしょうか。それともいくつか具体的に試したりして、慎重に吟味するものなんでしょうか。
いかんせん、場合の数や確率はほかの数学の単元とは少しテイストが違いすぎていて苦手なもので…汗

お礼日時：2021/02/07 17:36

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/02/07 18:17

最近この単元を重点的にやっているのですが、｢この解法の方が楽じゃない？｣と思った解法はつくづく重複が発生してしまいます…。

回答してくれた皆様のようにこのような単元をこなせる人は、どのような思考回路なのでしょうか…。経験もあるので大方はパターンとして身についてるのかもしれませんが、ふと、この解き方はどうだろうと思う時があると思います。その時に、すぐにパッと｢あ、重複できちゃうな｣などと気づいて、少し変えたりシフトチェンジしたりできるものなのでしょうか。それともいくつか具体的に試したりして、慎重に吟味するものなんでしょうか。
いかんせん、場合の数や確率はほかの数学の単元とは少しテイストが違いす

>>>馴れはあるかもしれませんね
当方は元塾講師ですんで、現役の時と合わせれば飽きるほどこの手の問題は解いてきました。
また、具体例で小手調べというのはよくやることです
樹形図などを頭のなかで、または実際に作ってみるという事もあります
（むろん、数の多いものではすべてを完成させるのではなくて、一部を作るのみで全体像を把握します。）
イメージを利用することもあります
また、私は将棋アマ2段です
この1手は相手の次の手が５パターンで、その応手が・・・で
というように頭の中でイメージすることは将棋を楽しんでいるうちに自然にトレーニングされてきました
（これが、将棋における「読み」というものです）
5手先を読むのに６パターンほどあったとすれば単純計算で
(1パターン当たり5手)ｘ(6パターン)＝30手を読んでいることになります
７手先では42手です
（むろん、あるパターンからは枝分かれが多数あってもっと読まないといけないこともありますし、キャパオーバーの場合は直感でだめそうな手を切り捨てることもあります）
このような枝分かれを、「抜け」がないようにイメージしていくことと、
場合の数の樹形図の枝を考えることとは似ているようで
将棋で鍛えた能力が場合の数にも役立っているようには思います

この回答へのお礼

貴重なお話ありがとうございました。
脳内で処理できるキャパには大きな違いがありますが、小さいなりに色々試してみたいと思います。
精進します…m(_ _)m

お礼日時：2021/02/07 18:28

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/02/07 02:48

その計算が「同じ場合を重複して数えている」のは明らかなのでは. 6人を a, b, c, d, e, f とした場合に, 例えば

A: a
B: b
C: c, d, e, f
となる組み分けは 4回数えているよね. 他にも
A: a, b
B: c, d
C: e, f
だと 8回数えちゃってる. ということで「6倍」と整数倍になっているのも実はただの偶然.

余事象を引くか, それぞれの場合を地道に数えるかしてください. 人数の組み合わせは 3通りしかないので, 全て数え上げるのもそんなに難しくないよ.

この回答へのお礼

今回のこれで、この単元においてどういうミスが多いか気づくことができました…涙。一つ一つ深く考えて行きたいと思います。ありがとうございました。

お礼日時：2021/02/07 02:55

No.2 回答者： to-ko402 回答日時： 2021/02/07 02:31

すみません！間違えてました笑

No.1 回答者： to-ko402 回答日時： 2021/02/07 01:55

その式自体はあっていますが、6P3の答えがおそらく間違っているのだと思います。

6P3は、6×5×4分の3×2×1になるので答えは20になります。
そして3×3×3をすると27です。
20×27をすると540になります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
でも、₆P₃＝6!/3!＝6･5･4
　　　₆C₃＝6!/(3!3!)＝20
です！偉そうに指摘してすみませんm(_ _)m

お礼日時：2021/02/07 02:12