背理法

Question

互いに素な正の整数ｌ、ｍと正の整数ｎがl^2+m^2=n^2を満たしている。このとき、ｌとｍのいずれか一方は偶数で、他方は奇数となることを示せ。
という問題です。
背理法を使い、ｌ、ｍがともに偶数の場合とｌ、ｍがともに奇数の場合に分けるとヒントにあるのですが、
理解できません。ぜひ解き方を教えてください。よろしくお願いします。

tarame · Accepted Answer

「ｌとｍは、一方が偶数であり、他方が奇数である」でないとすると、
「ｌとｍは、(ア)両方とも偶数である　または　(イ)両方とも奇数である」だから

(ア)のとき
ｌとｍは、互いに素であることに矛盾する

(イ)のとき
ｌ^2,ｍ^2 は奇数だから、ｌ^2＋ｍ^2＝ｎ^2 は偶数となる。
よって、n は偶数となるから、
ｎ^2 は４の倍数となる……☆
一方、ｌ＝2p＋1,ｍ＝2q＋1（p,q は整数）とおくと
ｌ^2＋ｍ^2
＝4p^2＋4p＋1＋4q^2＋4q＋1
＝2{2(p^2＋q^2＋p＋q)+1} において
2(p^2＋q^2＋p＋q)+1 は奇数だから
ｌ^2＋ｍ^2 は、４の倍数とはならず、☆に矛盾する。

kankororin · Answer

やり直しです。
ともに偶数では、互いに素にならないので、
l,m がともに奇数の場合だけでいいでしょう。
ともに奇数だと
l=p+q
m=p-q
とおける正整数 p,q があり、一方は奇数で他方が偶数。
計算すると
2(p^2+q^2)=n^2 
しかし(p^2+q^2)は偶数＋奇数＝奇数ですから、
２を因数に持たないので、
2(p^2+q^2)は整数の２乗にはならない
…というのでどうでしょう？

kankororin · Answer

すみません、＃３、＃５、勘違いですので、無視してくださいm(__)m

kankororin · Answer

失礼しました
l=p-q  -> m=p-q
の間違いです。

ranx · Answer

No.2さんの回答で、途中まではできていますね。
(6)はおかしいですけど、証明には関係ないので。

nは偶数ですから、n^2は4の倍数です。
正の奇数は一般的に(2t+1) (tは0以上の整数)と書けますので
これを2乗すると
(2t+1)^2=4(t^2+t)+1
となり、4で割った時に必ず1余ります。
そのような数を2つ足しても4の倍数にはなりません。

かなり端折りましたので、整理して書き直して下さい。

kankororin · Answer

確かにともに偶数では、互いに素にならないので、
l,m がともに奇数の場合だけでいいでしょう。
当然 n も奇数でなければならない。
しかしともに奇数だと
l=p+q
l=p-q
とおける正整数 p,q があります。
計算すると
2(p^2+q^2)=n^2 偶数＝奇数になるので矛盾。

arukamun · Answer

なんかヒントがおかしな感じがするんですが、
l、mは互いに素な正の整数なんですよね。
l、mがともに偶数の場合は絶対にありえないんですよ。
だって、偶数だからともに2で割り切れてしまうんです。

これを踏まえると、ヒントは
l、mはともに奇数
l、mはどちらかが奇数で、もう一方が偶数
に場合わけするんでしょうね。

まず、明白な事象を挙げてみます。

奇数＋奇数＝偶数　・・・(1)
偶数＋偶数＝偶数　・・・(2)
奇数＋偶数＝奇数　・・・(3)

奇数×奇数＝奇数　・・・(4)
偶数×偶数＝偶数　・・・(5)
奇数×偶数＝奇数　・・・(6) これは使わないだろう

奇数^2＝奇数　・・・(4')
偶数^2＝偶数　・・・(5')

これらを踏まえて、

l、mが互いに奇数の場合、
l^2、m^2も互いに奇数で、
l^2+m^2は偶数
よって、
n^2は偶数
nも偶数

l、mのどちらかが奇数で、もう一方が偶数の場合、
l^2、m^2のどちらかが奇数で、もう一方が偶数で、
l^2+m^2は奇数
よって、
n^2は奇数
nも奇数

う～ん、問題文も、何か条件が足りないようですよ。
問題文を正確に補足してください。

Rossana · Answer

この問題これに似てるかも。(1)を参考に。

参考URL：http://okweb.jp/kotaeru.php3?q=1039599

背理法

「ｌとｍは、一方が偶数であり、他方が奇数である」でないとすると、

やり直しです。

すみません、＃３、＃５、勘違いですので、無視してくださいm(__)m

失礼しました

No.2さんの回答で、途中まではできていますね。

確かにともに偶数では、互いに素にならないので、

なんかヒントがおかしな感じがするんですが、

この回答への補足

この問題これに似てるかも。

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　すみません、＃３、＃５、勘違いですので、無視してくださいm(__)m