
次の(v)は、n~2nの間に全く素数がないとしたら、2nCnは1~2n/3までの素数pの累乗の積で素因数分解される(表される)。つまり、2n/3~2nまでの素数は全くないという事です。しかも、その中の√(2n)以上の素数は1乗の形でしかない。
で合っていますでしょうか?
以下のURLは、略解です。
https://6900.teacup.com/cgu135/bbs/964
で問題のURLも貼っておきます。
https://6900.teacup.com/cgu135/bbs/956
No.8ベストアンサー
- 回答日時:
(v)
前提は
nは自然数で
2n/3<p≦n
となる素数p>2がある事です
(2n/3<p≦n)&(p>2)
ならば
2<p≦n<2p≦2n<3p
となるのです
n!の定義から
n!とは1~nの自然数のすべての積なのだから
2<p<nならば pはn!の約数になるのです
(2n)!の定義から
(2n)!とは1~2nの自然数のすべての積なのだから
2<p≦n<2p≦2nならばpと2pは(2n)!の約数になるのです
2n/3<p≦nとなる素数pがあっても
2nCnにはpは現れない
という事なのです
例)
n=p=3の時
2n/3=2<3=p=n
c_3=6C3=6*5*4/3/2=5*2^2=20
には素数3はない
n=4,p=3の時
2n/3=8/3<3=p<4=n
c_4=8C4=8*7*6*5/4/3/2=7*2*5=70
には素数3はない
n=p=5
2n/3=10/3<5=p=n
c_5=10C5=10*9*8*7*6/5/4/3/2=7*9*4=252
には素数5はない
-----------------------------
2<p
2n/3<p≦n となる素数pがあるならば
↓各辺に2をかけると
4n/3<2p≦2n
3<4
↓両辺にn/3をかけると
n<4n/3
↓4n/3<2p≦2nだから
∴
n<2p≦2n…(2)
2n/3<p
↓両辺に3をかけると
2n<3p
だから
2n/3<p≦n
↓2<pだから
2<p≦n…(1)
だから
n!=n(n-1)…p…3・2
は1つのpを素因数に持つ
(1)と(2)から
↓
2<p≦n<2p≦2n
だから
(2n)!=(2n)(2n-1)…2p…(n+1)n(n-1)…p…3・2
は2つのpを素因数に持つ
c_n
=2nCn
=(2n)!/(n!n!)
=
2n(2n-1)…2p…(n+2)(n+1)n(n-1)…p…3・2
/[{n(n-1)…p…3・2}{n(n-1)…p…3・2}]
分母の2つのn!のpと分子{(2n)!の2pとp}の2つのpが約分されて消えるので
2nCnには2n/3<~≦nの素数は全くないという事です
No.7
- 回答日時:
(v)
2n/3<p≦n ならば
↓各辺に2をかけると
4n/3<2p≦2n
3<4
↓両辺にn/3をかけると
n<4n/3
↓4n/3<2p≦2nだから
∴
n<2p≦2n
2n/3<p
↓両辺に3をかけると
2n<3p
だから
2<p≦n
だから
n!=n(n-1)…p…3・2
は1つのpを素因数に持つ
2<p≦n<2p≦2n
だから
(2n)!=(2n)(2n-1)…2p…(n+1)n(n-1)…p…3・2
は2つのpを素因数に持つ
c_n
=2nCn
=(2n)!/(n!n!)
=
2n(2n-1)…2p…(n+2)(n+1)n(n-1)…p…3・2
/[{n(n-1)…p…3・2}{n(n-1)…p…3・2}]
分母の2つのn!のpと分子{(2n)!の2pとp}の2つのpが約分されて消えるので
2nCnには2n/3<~≦nの素数は全くないという事です
2<p≦n
だから
n!=n(n-1)…p…3・2
は1つのpを素因数に持つ
2<p≦n<2p≦2n
だから
(2n)!=(2n)(2n-1)…2p…(n+1)n(n-1)…p…3・2
は2つのpを素因数に持つ
c_n
=2nCn
=(2n)!/(n!n!)
=
2n(2n-1)…2p…(n+2)(n+1)n(n-1)…p…3・2
/[{n(n-1)…p…3・2}{n(n-1)…p…3・2}]
分母の2つのn!のpと分子{(2n)!の2pとp}の2つのpが約分されて消えるので
2nCnには2n/3<~≦nの素数は全くないという事です
というのは、不等式の前提でn!や、(2n)!を、不等式の大きい順を考慮するということでしょうか?ご教授頂けると幸いです。すみませんが。
No.6
- 回答日時:
(v)
2n/3<p≦n ならば
↓各辺に2をかけると
4n/3<2p≦2n
3<4
↓両辺にn/3をかけると
n<4n/3
↓4n/3<2p≦2nだから
∴
n<2p≦2n
2n/3<p
↓両辺に3をかけると
2n<3p
だから
n<2p≦2n
2<p≦n
c_n
=2nCn
=
2n(2n-1)…2p…(n+2)(n+1)
/{n(n-1)…p…3・2}
分母のpと分子(2p)のpが約分されて消えるので
2nCnには2n/3<~≦nの素数は全くないという事です
c_n
=2nCn
=
2n(2n-1)…2p…(n+2)(n+1)
/{n(n-1)…p…3・2}
分母のpと分子(2p)のpが約分されて消えるので
の所で、なぜ、分子に(2p)や、分母にpが、あるのでしょうか?
ご教授頂けると幸いです。すみませんが。
No.5
- 回答日時:
(v)
2<
2n/3<p≦n
ならば
n<4n/3<2p≦2n<3p
だから
n<2p≦2n
2<p≦n
c_n
=2nCn
=
2n(2n-1)…2p…(n+2)(n+1)
/n(n-1)…p…3・2
2nCnの分母のpと分子(2p)のpが約分されて消えるので
2nCnには2n/3<~≦nの素数は全くないという事です
----------------------------------ここまで(v)
(ii)
2nCn がちょうど p^r で割り切れるとき
r=e(p)
とすると
p^{e(p)}≦2n
だから
-----------------------------------ここから(v)
(v)
√(2n)≦p となる素数pに対して
2n≦p^2 だから
p>2だから
2n<p^2 だから
2≦e(p)と仮定すると(ii)から
p^2≦p^{e(p)}≦2n
となって2n<p^2に矛盾するから
e(p)≦1
となるから
e(p)は多くとも1だから
2nCn は p^2 で 割り切れないから
2nCnの中の√(2n)以上の素数pは1乗の形でしかない
2<
2n/3<p≦n
ならば
n<4n/3<2p≦2n<3p
ここの式変形はどうなるのでしょうか?
2<の所は、どうなるのでしょうか?ご教授頂けると幸いです。すみませんが。
No.4
- 回答日時:
(2n/3<~≦nの素数は2nCnにはないけれど2n/3<~≦nにはある)
は
(もし2n/3<p≦nとなる素数pがあってもpは2nCnの素因数にはならない)
という事なのです
chebyshev.pdf
の
[補題4.6]nを正整数,pを素数とする.
n≧3かつ2n/3<p≦nならば,pは2nCnを割らない素数である
だから
2n/3<p≦n となる素数pは 2nCn の 素因数にはならない
という事なのです
これはn<~<2nの間に素数があるかどうかには関係ありません
「
2nCnの中の√(2n)以上の素数は1乗の形でしかない
」
は
(ii)
2nCn がちょうど p^r で割り切れるとき
r=e(p)
とすると
p^{e(p)}≦2n
だから
√(2n)≦p となる素数pに対して
2n≦p^2 だから
p>2だから
2n<p^2 だから
2≦e(p)と仮定すると
p^2≦p^{e(p)}≦2n
となって2n<p^2に矛盾するから
e(p)≦1
となるから
e(p)は多くとも1だから
2nCn は p^2 で 割り切れないから
2nCnの中の√(2n)以上の素数pは1乗の形でしかない
No.3
- 回答日時:
補足です
n<~<2nの間に全く素数がないとしたら、
2nCnは1<~≦2n/3までの素数pの累乗の積で素因数分解される(表される)。
つまり、
2n/3<~<2nまでの素数は
2nCn
には
全くない
(2n/3<~≦nの素数は2nCnにはないけれど2n/3<~≦nにはある)
という事です。
しかも、
2nCn
の中の√(2n)以上の素数は1乗の形でしかない。
(2n/3<~≦nの素数は2nCnにはないけれど2n/3<~≦nにはある)
という事です。
しかも、
2nCn
の中の√(2n)以上の素数は1乗の形でしかない。
という所をもう少し詳しくご教授頂けると幸いです。すみませんが。
No.2
- 回答日時:
n~2nの間に全く素数がないとしたら、
2nCnは1~2n/3までの素数pの累乗の積で素因数分解される(表される)。
つまり、
2n/3~2nまでの素数は
2nCn
には
全くない
(2nCnにはないけれど2n/3~nにはある)
という事です。
しかも、
2nCn
の中の√(2n)以上の素数は1乗の形でしかない。
No.1
- 回答日時:
「
(iv)
nと2nの間の素数はすべてc_nの素因数分解中に1乗で現れ,
それらの積Q_n≦c_n<4^n
」
の所で
nが素数の時
c_3=6C3=6!/(3!3!)=6*5*4/3/2=20
だから
c_3の素因数分解中に3は現れないから
nと2nの間の素数にはnは含まれないから
それらの積Q_n
にはnは含まれないから
Q_n=(n+1≦p≦2n-1となる素数pの積)となる
P_{n-1}=(p≦n-1となる素数pの積)
P_{n-1}×Q_n=(p≦n-1となる素数pの積)×(n+1≦p≦2n-1となる素数pの積)
に
は(n=素数pの時がふくまれない)
だから
「
P_{2n-1}=P_{n-1}×Q_n
」
は誤り
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