ベルトラン・チェビシェフの定理について。

次の(v)は、ｎ～２ｎの間に全く素数がないとしたら、2nＣnは１～２ｎ/３までの素数ｐの累乗の積で素因数分解される（表される）。つまり、２ｎ/３～２ｎまでの素数は全くないという事です。しかも、その中の√(２ｎ)以上の素数は１乗の形でしかない。
で合っていますでしょうか？
以下のURLは、略解です。
https://6900.teacup.com/cgu135/bbs/964
で問題のURLも貼っておきます。
https://6900.teacup.com/cgu135/bbs/956

No.8 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/02/20 16:55

(v)

前提は
nは自然数で
2n/3<p≦n
となる素数p>2がある事です

(2n/3<p≦n)&(p>2)
ならば
2<p≦n<2p≦2n<3p
となるのです

n!の定義から
n!とは1～nの自然数のすべての積なのだから
2<p<nならば　pはn!の約数になるのです
(2n)!の定義から
(2n)!とは1～2nの自然数のすべての積なのだから
2<p≦n<2p≦2nならばpと2pは(2n)!の約数になるのです

2n/3<p≦nとなる素数pがあっても
2nCnにはpは現れない
という事なのです

例)
n=p=3の時
2n/3=2<3=p=n
c_3=6C3=6*5*4/3/2=5*2^2=20
には素数3はない

n=4,p=3の時
2n/3=8/3<3=p<4=n
c_4=8C4=8*7*6*5/4/3/2=7*2*5=70
には素数3はない

n=p=5
2n/3=10/3<5=p=n
c_5=10C5=10*9*8*7*6/5/4/3/2=7*9*4=252
には素数5はない
-----------------------------
2<p
2n/3<p≦n　となる素数pがあるならば
↓各辺に2をかけると
4n/3<2p≦2n

3<4
↓両辺にn/3をかけると
n<4n/3
↓4n/3<2p≦2nだから
∴
n<2p≦2n…(2)

2n/3<p
↓両辺に3をかけると
2n<3p
だから

2n/3<p≦n
↓2<pだから
2<p≦n…(1)
だから
n!=n(n-1)…p…3・2
は1つのpを素因数に持つ

(1)と(2)から
↓
2<p≦n<2p≦2n
だから
(2n)!=(2n)(2n-1)…2p…(n+1)n(n-1)…p…3・2
は2つのpを素因数に持つ

c_n
=2nCn
=(2n)!/(n!n!)
=
2n(2n-1)…2p…(n+2)(n+1)n(n-1)…p…3・2
/[{n(n-1)…p…3・2}{n(n-1)…p…3・2}]

分母の2つのn!のpと分子{(2n)!の2pとp}の2つのpが約分されて消えるので

2nCnには2n/3<～≦nの素数は全くないという事です

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/02/20 11:20

(v)

2n/3<p≦n ならば
↓各辺に2をかけると
4n/3<2p≦2n

3<4
↓両辺にn/3をかけると
n<4n/3
↓4n/3<2p≦2nだから
∴
n<2p≦2n

2n/3<p
↓両辺に3をかけると
2n<3p

だから

2<p≦n
だから
n!=n(n-1)…p…3・2
は1つのpを素因数に持つ

2<p≦n<2p≦2n
だから
(2n)!=(2n)(2n-1)…2p…(n+1)n(n-1)…p…3・2
は2つのpを素因数に持つ

c_n
=2nCn
=(2n)!/(n!n!)
=
2n(2n-1)…2p…(n+2)(n+1)n(n-1)…p…3・2
/[{n(n-1)…p…3・2}{n(n-1)…p…3・2}]

分母の2つのn!のpと分子{(2n)!の2pとp}の2つのpが約分されて消えるので

2nCnには2n/3<～≦nの素数は全くないという事です

この回答へのお礼

2<p≦n
だから
n!=n(n-1)…p…3・2
は1つのpを素因数に持つ

2<p≦n<2p≦2n
だから
(2n)!=(2n)(2n-1)…2p…(n+1)n(n-1)…p…3・2
は2つのpを素因数に持つ

c_n
=2nCn
=(2n)!/(n!n!)
=
2n(2n-1)…2p…(n+2)(n+1)n(n-1)…p…3・2
/[{n(n-1)…p…3・2}{n(n-1)…p…3・2}]

分母の2つのn!のpと分子{(2n)!の2pとp}の2つのpが約分されて消えるので

2nCnには2n/3<～≦nの素数は全くないという事です
というのは、不等式の前提でn！や、（2n)！を、不等式の大きい順を考慮するということでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時：2021/02/20 11:54

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/02/19 21:39

(v)

2n/3<p≦n ならば
↓各辺に2をかけると
4n/3<2p≦2n

3<4
↓両辺にn/3をかけると
n<4n/3
↓4n/3<2p≦2nだから
∴
n<2p≦2n

2n/3<p
↓両辺に3をかけると
2n<3p

だから
n<2p≦2n
2<p≦n

c_n
=2nCn
=
2n(2n-1)…2p…(n+2)(n+1)
/{n(n-1)…p…3・2}

分母のpと分子(2p)のpが約分されて消えるので

2nCnには2n/3<～≦nの素数は全くないという事です

この回答へのお礼

c_n
=2nCn
=
2n(2n-1)…2p…(n+2)(n+1)
/{n(n-1)…p…3・2}

分母のpと分子(2p)のpが約分されて消えるので
の所で、なぜ、分子に（2p)や、分母にpが、あるのでしょうか？
ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時：2021/02/20 10:56

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/02/19 20:22

(v)

2<
2n/3<p≦n
ならば
n<4n/3<2p≦2n<3p

だから
n<2p≦2n
2<p≦n

c_n
=2nCn
=
2n(2n-1)…2p…(n+2)(n+1)
/n(n-1)…p…3・2

2nCnの分母のpと分子(2p)のpが約分されて消えるので

2nCnには2n/3<～≦nの素数は全くないという事です
----------------------------------ここまで(v)
(ii)
2nCn がちょうど　p^r で割り切れるとき
r=e(p)
とすると
p^{e(p)}≦2n
だから
-----------------------------------ここから(v)
(v)
√(2n)≦p　となる素数pに対して

2n≦p^2　だから
p>2だから
2n<p^2 だから
2≦e(p)と仮定すると(ii)から
p^2≦p^{e(p)}≦2n
となって2n<p^2に矛盾するから
e(p)≦1
となるから
e(p)は多くとも1だから
2nCn は　p^2 で　割り切れないから

2nCnの中の√(2n)以上の素数pは1乗の形でしかない

この回答へのお礼

2<
2n/3<p≦n
ならば
n<4n/3<2p≦2n<3p
ここの式変形はどうなるのでしょうか？
2＜の所は、どうなるのでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時：2021/02/19 21:10

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/02/19 17:16

(2n/3<～≦nの素数は2nCnにはないけれど2n/3<～≦nにはある)

は
(もし2n/3<p≦nとなる素数pがあってもpは2nCnの素因数にはならない)

という事なのです

chebyshev.pdf
の
[補題4.6]nを正整数,pを素数とする.
n≧3かつ2n/3<p≦nならば,pは2nCnを割らない素数である

だから

2n/3<p≦n となる素数pは　2nCn の　素因数にはならない

という事なのです
これはn<～<2nの間に素数があるかどうかには関係ありません


「　
2nCnの中の√(2n)以上の素数は1乗の形でしかない
」
は

(ii)
2nCn がちょうど　p^r で割り切れるとき
r=e(p)
とすると
p^{e(p)}≦2n
だから

√(2n)≦p　となる素数pに対して

2n≦p^2　だから
p>2だから
2n<p^2 だから
2≦e(p)と仮定すると
p^2≦p^{e(p)}≦2n
となって2n<p^2に矛盾するから
e(p)≦1
となるから
e(p)は多くとも1だから
2nCn は　p^2 で　割り切れないから

2nCnの中の√(2n)以上の素数pは1乗の形でしかない

この回答へのお礼

（v)はどこからでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時：2021/02/19 18:33

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/02/19 11:18

補足です

n<～<2nの間に全く素数がないとしたら、
2nCnは1<～≦2n/3までの素数pの累乗の積で素因数分解される(表される)。
つまり、
2n/3<～<2nまでの素数は

2nCn

には
全くない
(2n/3<～≦nの素数は2nCnにはないけれど2n/3<～≦nにはある)
という事です。

しかも、

2nCn

の中の√(2n)以上の素数は1乗の形でしかない。

この回答へのお礼

(2n/3<～≦nの素数は2nCnにはないけれど2n/3<～≦nにはある)
という事です。

しかも、

2nCn

の中の√(2n)以上の素数は1乗の形でしかない。
という所をもう少し詳しくご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時：2021/02/19 14:17

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/02/19 10:49

n～2nの間に全く素数がないとしたら、

2nCnは1～2n/3までの素数pの累乗の積で素因数分解される(表される)。
つまり、
2n/3～2nまでの素数は

2nCn

には
全くない
(2nCnにはないけれど2n/3～nにはある)
という事です。

しかも、

2nCn

の中の√(2n)以上の素数は1乗の形でしかない。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/02/18 19:55

「

(iv)
nと2nの間の素数はすべてc_nの素因数分解中に1乗で現れ,
それらの積Q_n≦c_n<4^n
」

の所で

nが素数の時
c_3=6C3=6!/(3!3!)=6*5*4/3/2=20
だから
c_3の素因数分解中に3は現れないから

nと2nの間の素数にはnは含まれないから
それらの積Q_n
にはnは含まれないから
Q_n=(n+1≦p≦2n-1となる素数pの積)となる
P_{n-1}=(p≦n-1となる素数pの積)

P_{n-1}×Q_n=(p≦n-1となる素数pの積)×(n+1≦p≦2n-1となる素数pの積)
に
は(n=素数pの時がふくまれない)

だから

「
P_{2n-1}=P_{n-1}×Q_n
」
は誤り

この回答へのお礼

（iii)と（v)もご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時：2021/02/18 21:00