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【解消】通知が届かない不具合について

次の(v)は、n~2nの間に全く素数がないとしたら、2nCnは1~2n/3までの素数pの累乗の積で素因数分解される(表される)。つまり、2n/3~2nまでの素数は全くないという事です。しかも、その中の√(2n)以上の素数は1乗の形でしかない。
で合っていますでしょうか?
以下のURLは、略解です。
https://6900.teacup.com/cgu135/bbs/964
で問題のURLも貼っておきます。
https://6900.teacup.com/cgu135/bbs/956

A 回答 (8件)

(v)


前提は
nは自然数で
2n/3<p≦n
となる素数p>2がある事です

(2n/3<p≦n)&(p>2)
ならば
2<p≦n<2p≦2n<3p
となるのです

n!の定義から
n!とは1~nの自然数のすべての積なのだから
2<p<nならば pはn!の約数になるのです
(2n)!の定義から
(2n)!とは1~2nの自然数のすべての積なのだから
2<p≦n<2p≦2nならばpと2pは(2n)!の約数になるのです

2n/3<p≦nとなる素数pがあっても
2nCnにはpは現れない
という事なのです

例)
n=p=3の時
2n/3=2<3=p=n
c_3=6C3=6*5*4/3/2=5*2^2=20
には素数3はない

n=4,p=3の時
2n/3=8/3<3=p<4=n
c_4=8C4=8*7*6*5/4/3/2=7*2*5=70
には素数3はない

n=p=5
2n/3=10/3<5=p=n
c_5=10C5=10*9*8*7*6/5/4/3/2=7*9*4=252
には素数5はない
-----------------------------
2<p
2n/3<p≦n となる素数pがあるならば
↓各辺に2をかけると
4n/3<2p≦2n

3<4
↓両辺にn/3をかけると
n<4n/3
↓4n/3<2p≦2nだから

n<2p≦2n…(2)

2n/3<p
↓両辺に3をかけると
2n<3p
だから

2n/3<p≦n
↓2<pだから
2<p≦n…(1)
だから
n!=n(n-1)…p…3・2
は1つのpを素因数に持つ

(1)と(2)から

2<p≦n<2p≦2n
だから
(2n)!=(2n)(2n-1)…2p…(n+1)n(n-1)…p…3・2
は2つのpを素因数に持つ

c_n
=2nCn
=(2n)!/(n!n!)
=
2n(2n-1)…2p…(n+2)(n+1)n(n-1)…p…3・2
/[{n(n-1)…p…3・2}{n(n-1)…p…3・2}]

分母の2つのn!のpと分子{(2n)!の2pとp}の2つのpが約分されて消えるので

2nCnには2n/3<~≦nの素数は全くないという事です
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(v)


2n/3<p≦n ならば
↓各辺に2をかけると
4n/3<2p≦2n

3<4
↓両辺にn/3をかけると
n<4n/3
↓4n/3<2p≦2nだから

n<2p≦2n

2n/3<p
↓両辺に3をかけると
2n<3p

だから

2<p≦n
だから
n!=n(n-1)…p…3・2
は1つのpを素因数に持つ

2<p≦n<2p≦2n
だから
(2n)!=(2n)(2n-1)…2p…(n+1)n(n-1)…p…3・2
は2つのpを素因数に持つ

c_n
=2nCn
=(2n)!/(n!n!)
=
2n(2n-1)…2p…(n+2)(n+1)n(n-1)…p…3・2
/[{n(n-1)…p…3・2}{n(n-1)…p…3・2}]

分母の2つのn!のpと分子{(2n)!の2pとp}の2つのpが約分されて消えるので

2nCnには2n/3<~≦nの素数は全くないという事です
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この回答へのお礼

2<p≦n
だから
n!=n(n-1)…p…3・2
は1つのpを素因数に持つ

2<p≦n<2p≦2n
だから
(2n)!=(2n)(2n-1)…2p…(n+1)n(n-1)…p…3・2
は2つのpを素因数に持つ

c_n
=2nCn
=(2n)!/(n!n!)
=
2n(2n-1)…2p…(n+2)(n+1)n(n-1)…p…3・2
/[{n(n-1)…p…3・2}{n(n-1)…p…3・2}]

分母の2つのn!のpと分子{(2n)!の2pとp}の2つのpが約分されて消えるので

2nCnには2n/3<~≦nの素数は全くないという事です
というのは、不等式の前提でn!や、(2n)!を、不等式の大きい順を考慮するということでしょうか?ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時:2021/02/20 11:54

(v)


2n/3<p≦n ならば
↓各辺に2をかけると
4n/3<2p≦2n

3<4
↓両辺にn/3をかけると
n<4n/3
↓4n/3<2p≦2nだから

n<2p≦2n

2n/3<p
↓両辺に3をかけると
2n<3p

だから
n<2p≦2n
2<p≦n

c_n
=2nCn
=
2n(2n-1)…2p…(n+2)(n+1)
/{n(n-1)…p…3・2}

分母のpと分子(2p)のpが約分されて消えるので

2nCnには2n/3<~≦nの素数は全くないという事です
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この回答へのお礼

c_n
=2nCn
=
2n(2n-1)…2p…(n+2)(n+1)
/{n(n-1)…p…3・2}

分母のpと分子(2p)のpが約分されて消えるので
の所で、なぜ、分子に(2p)や、分母にpが、あるのでしょうか?
ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時:2021/02/20 10:56

(v)


2<
2n/3<p≦n
ならば
n<4n/3<2p≦2n<3p

だから
n<2p≦2n
2<p≦n

c_n
=2nCn
=
2n(2n-1)…2p…(n+2)(n+1)
/n(n-1)…p…3・2

2nCnの分母のpと分子(2p)のpが約分されて消えるので

2nCnには2n/3<~≦nの素数は全くないという事です
----------------------------------ここまで(v)
(ii)
2nCn がちょうど p^r で割り切れるとき
r=e(p)
とすると
p^{e(p)}≦2n
だから
-----------------------------------ここから(v)
(v)
√(2n)≦p となる素数pに対して

2n≦p^2 だから
p>2だから
2n<p^2 だから
2≦e(p)と仮定すると(ii)から
p^2≦p^{e(p)}≦2n
となって2n<p^2に矛盾するから
e(p)≦1
となるから
e(p)は多くとも1だから
2nCn は p^2 で 割り切れないから

2nCnの中の√(2n)以上の素数pは1乗の形でしかない
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この回答へのお礼

2<
2n/3<p≦n
ならば
n<4n/3<2p≦2n<3p
ここの式変形はどうなるのでしょうか?
2<の所は、どうなるのでしょうか?ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時:2021/02/19 21:10

(2n/3<~≦nの素数は2nCnにはないけれど2n/3<~≦nにはある)



(もし2n/3<p≦nとなる素数pがあってもpは2nCnの素因数にはならない)

という事なのです

chebyshev.pdf

[補題4.6]nを正整数,pを素数とする.
n≧3かつ2n/3<p≦nならば,pは2nCnを割らない素数である

だから

2n/3<p≦n となる素数pは 2nCn の 素因数にはならない

という事なのです
これはn<~<2nの間に素数があるかどうかには関係ありません


「 
2nCnの中の√(2n)以上の素数は1乗の形でしかない



(ii)
2nCn がちょうど p^r で割り切れるとき
r=e(p)
とすると
p^{e(p)}≦2n
だから

√(2n)≦p となる素数pに対して

2n≦p^2 だから
p>2だから
2n<p^2 だから
2≦e(p)と仮定すると
p^2≦p^{e(p)}≦2n
となって2n<p^2に矛盾するから
e(p)≦1
となるから
e(p)は多くとも1だから
2nCn は p^2 で 割り切れないから

2nCnの中の√(2n)以上の素数pは1乗の形でしかない
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この回答へのお礼

(v)はどこからでしょうか?ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時:2021/02/19 18:33

補足です


n<~<2nの間に全く素数がないとしたら、
2nCnは1<~≦2n/3までの素数pの累乗の積で素因数分解される(表される)。
つまり、
2n/3<~<2nまでの素数は

2nCn

には
全くない
(2n/3<~≦nの素数は2nCnにはないけれど2n/3<~≦nにはある)
という事です。

しかも、

2nCn

の中の√(2n)以上の素数は1乗の形でしかない。
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この回答へのお礼

(2n/3<~≦nの素数は2nCnにはないけれど2n/3<~≦nにはある)
という事です。

しかも、

2nCn

の中の√(2n)以上の素数は1乗の形でしかない。
という所をもう少し詳しくご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時:2021/02/19 14:17

n~2nの間に全く素数がないとしたら、


2nCnは1~2n/3までの素数pの累乗の積で素因数分解される(表される)。
つまり、
2n/3~2nまでの素数は

2nCn

には
全くない
(2nCnにはないけれど2n/3~nにはある)
という事です。

しかも、

2nCn

の中の√(2n)以上の素数は1乗の形でしかない。
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(iv)
nと2nの間の素数はすべてc_nの素因数分解中に1乗で現れ,
それらの積Q_n≦c_n<4^n


の所で

nが素数の時
c_3=6C3=6!/(3!3!)=6*5*4/3/2=20
だから
c_3の素因数分解中に3は現れないから

nと2nの間の素数にはnは含まれないから
それらの積Q_n
にはnは含まれないから
Q_n=(n+1≦p≦2n-1となる素数pの積)となる
P_{n-1}=(p≦n-1となる素数pの積)

P_{n-1}×Q_n=(p≦n-1となる素数pの積)×(n+1≦p≦2n-1となる素数pの積)

は(n=素数pの時がふくまれない)

だから


P_{2n-1}=P_{n-1}×Q_n

は誤り
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この回答へのお礼

(iii)と(v)もご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時:2021/02/18 21:00

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