ヤコビアンが0になってしまう場合の意味

xyzの空間で、
　
　　　x=a/b y=b/c z=c/a

と変数変換すると、ヤコビアンは０になります。
この変数変換は何か問題あるのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2021/02/23 09:28

「変数変換」になってない、ってことですね。

　　xyz = (a/b)(b/c)(c/a) = 1
ですから、(a,b,c)→(x,y,z)ではなくて(a,b,c)→(x,y,1/(xy))の写像になっている。
　逆に(x,y,z)→(a,b,c)の写像を考えると、
　　c = z a = yz b = xyz c
同様に a = xyz a, b = xyz b なので、(x,y,z)が何であれxyz≠1ならa=b=c=0。（もちろんx=a/bはb=0では定義されない。）つまり、空間(x,y,z)のほとんどの部分が空間(a,b,c)に写らない。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
ですね・・・・。

お礼日時：2021/02/28 09:47

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/02/23 09:53

「変数変換」「ヤコビアン」と言ってるってことは、

dxdydz の置換積分を考えているんだよね？
x,y,z の積分領域を a,b,c の領域に翻訳してごらん。できないから。
できない理由は、x=a/b, y=b/c, z=c/a では
a,b,c をどんな値にしても xyz=1 となる x,y,z しか表せないから。
積分領域が翻訳できなければ、置換積分はできないね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
ですね・・・・。

お礼日時：2021/02/28 09:47

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2021/02/23 09:16

すべて掛け算すると

xyz=1
となります。
質問者の提示した変数変換では上記の曲面上の点しか表すことができません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
ですね・・・。

お礼日時：2021/02/28 09:46

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/02/23 07:45

大蟻。

変数変換とは呼ばない。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2021/02/28 09:46