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力の単位ニュートンを、質量1[kg]の物体に1[m/s^2]の加速度が生じさせる力の大きさを1[N]と定めることにより、比例定数は1となり、運動方程式はma=Fと表せると習いました。そこで疑問に思ったことがあるんですが、大学受験の物理の入試問題などでは、問題文にそれぞれの物理量の単位が明記されておらず、単位は全く考えず解くような問題があると思うのですが、そのような問題を解く過程で運動方程式をma=kFとして解かないのはどうしてでしょうか(そのようにしますと、答えの中に比例定数kが出てくる事になると思うのですが、解答を見てもわざわざ比例定数kを考えているようなものを見たことがありません)。質量と加速度の単位をそれぞれ[kg], [m/s^2]で考える(国際単位系で考えたらそのように考えるのが一般的?)というのが決まりになっているのでしょうか(そうなると単位が与えられていない場合、質量の単位は表記されていないけど、kgで絶対考えるということになりますよね、もしそうなら今まで知らなかったので結構ショッキングです、この場合問題で加速度を問われていたら逆に答えに単位として[m/s^2]をつけても良いことになりますよね)?また、そのような入試問題が出たときに、比例定数kを含んだ答えを書いたらバツにされてしまうのでしょうか?
混乱しているので教えていただけると助かります。

gooドクター

A 回答 (6件)

そりゃ、F、m、aの3つとも任意の単位をえらべば


F=kma となってkの値を決めなくてはならなくなる。
しかし歴史を見ても、もちろん今も運動方程式は
F=ma となるように、つまりk=1になるように
単位系を決めているからよけいな心配する必要ないよ。
つまり過去にあった単位系、現在の単位系のどの単位系においても
F=ma がなりたつということ。
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物理現象を表す方程式は、その現象に関する物理因子(変数)を含むだけで十分で、万有引力定数等の特別な意味を持つ定数を含まれることはあっても、恣意性のある係数を含む必要はありません。

むしろ、簡潔を旨とする観点から含んではいけません。
そして、それぞれの物理因子の定め方を明言しておれば、そのやり方に論理的な矛盾がない限りどのような単位を構築しても構いません。物理因子の数さえも増減さすことが出来ますし、単位系によって同じ物理量に対する次元を違えることも可能です。
例えば、原子単位系では光速cや電荷qが現れません。また、電磁気学では、昔から複数の単位系が存在するために混乱しがちなことが良く知られてます。SI単位系が定まる前のガウス単位系が(断りもなく)今でも使われていることがあります(その方が物理的な見通しが良くなるという利点もあるからです)。ガウス単位系では誘電率εとか透磁率μが使われずに、係数としてはcが現れるだけです。ただし、ガウス単位系は電場と磁場が同じ次元になっている等の使い難い面があります。SI単位系は、それまでの歴史的経緯からまだしも使い易いだろうと最大公約数的に設定された単位系であると言えます。
ちなみに、力学の計算ではkg, mを使ってもg, cmを使っても計算結果に10の何乗かの定数を掛けて換算することが出来ますが、電磁気の計算では、SI単位系はkgとmを用いて、cgsガウス単位系ではcmとgを使わねばなりません。質量[M]と距離[L]と時間[T]だけでは電磁気現象を表す次元が足らない為だろうと思います。
SI単位系の母体になったのがMKSA単位系と呼ばれていて、ガウス単位系はcgsガウス単位系と呼ばれていたのは、そのようなことがあるからでしょう。
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>力の単位ニュートンを、質量1[kg]の物体に1[m/s^2]の加速度が生じさせる力の大きさを1[N]と定めることにより、比例定数は1となり、運動方程式はma=Fと表せる



それはその通りで、「質量」「長さ」の単位を決めた上で、「力の単位」を決めたのでそうなっています。
SI 単位系(国際単位、仏: Système International d'unités、英: International System of Units)では、「長さ:m」「質量:kg」「秒:s」「アンペア:A」を基本単位とする、いわゆる「MKSA単位系」ですから(その他にも特殊な基本単位もある)、「力:N」はそこから派生した単位になります。
それをどのように定めるかは「定義のしかた」によりますが、「ニュートン」はお書きのように「質量1[kg]の物体に1[m/s^2]の加速度が生じさせる力の大きさを1[N]と定める」というもので、そうすることで余分な「換算定数」が発生しないようにしています。

上のことは、ある意味で「特定の単位系の決め方」ですが、これが「国際単位系」と呼ばれるように、世界各国で共通に用いられ、日本でも教育においてはこれを使っています。従って、教科書やテストは基本的にこの単位系を使います。
ないも特別なことわりをしない限り「国際単位系」であり、特殊な単位を使うときにはその都度定義するなり注記して使う、というのが標準的な記述かと思います。

>また、そのような入試問題が出たときに、比例定数kを含んだ答えを書いたらバツにされてしまうのでしょうか?

きちんと、あなたなりの定義や使い方を断って表記する分にはよいと思います。
たとえば、「力」の単位を「ニュートン」ではなく「キログラム重」あるいは「ポンド重」と断って表記するとか。
ただし、試験官がどのように判断するかは分かりません。
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具体的にどういう問題なのかがわからんのでなんともいえないんだけど....



SI の立場は
物理量を文字で表すときには, その文字の中に単位も含む
なので, 例えば
質量 m = 1 kg
加速度 a = 1 m/s^2
のとき
力 F = ma = (1 kg)×(1 m/s^2) = 1 kg m/s^2 = 1 N
ということになる. その観点では
もともと「比例定数」がなくていいように, それぞれの文字 (で表される物理量) に「てきせつ」な単位が付いている
のかもしれない.
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現在の物理学の世界では「特に断りのない限りはMKS単位系で表す」と言うのが言わば「業界のお約束」になっています。

ちなみに運動方程式が比例定数kを含まない

F=ma

となるのはMKS単位系だけではありません。現在50代の私の先生の世代ぐらいには距離をcm、時間を秒、質量をgで表す「CGS単位系」が一般的だったようですが、こちらでも「質量1gの物体に1cm/s^2の加速度を生じさせる力」として1ダインと言う力の単位が定義されていました。そして力の単位にダイン、質量の単位にg、加速度の単位にcm/s^2を使えば、こちらでも運動方程式は比例定数の現れない

F=ma

になります。


ところで「運動方程式に比例定数kを付けたら間違いなのか」と言う件ですが、正解か不正解かで言えばもちろん正解です。ただし「簡単な話で済むものをわざわざ面倒くさく書いている」と思われてウケは良くないかもしれません。
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今の物理書はSIを前提にかかれてます。


式をSI以外で書くのだったら
その旨を詳細に書くはめになるでしょうね。

相対性理論では自然単位系を使うことも
あるけど、当然断ってから使わないとだめでしょう。
公式の形ががらっと変わってしまいますから。
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