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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
① T_[2n](x) = 1.
② T_[n+1](x) = T_[n-1](x) = 0.
T_k(x) を含む複雑な式だと必ずしも許されないが、
T_k(x) = C {-1≦C≦1} の解は -1≦x≦1 の範囲にしかない
ことが知られているから、安心して x = cosθ を代入できる。
①
cos(2nθ) = 1 を解くと、 2nθ = 0 + 2πk {kは任意の整数}.
θ を代入して x = cos(2πk/(2n))
= cos(πk/n).
②
cos((n+1)θ) = 0, cos((n-1)θ) = 0 を解くと、
(n+1)θ = π/2 + πp,
(n-1)θ = π/2 + πq {p,qは任意の整数}.
両式を足し算して、 2nθ = π + π(p+q), ←[1]
両式を引き算して、 2θ = π(p-q). ←[2]
この 2式の比から n = (1+p+q)/(p-q) で、
変形すると p = (1+(n+1)q)/(n-1).
これを [1] へ代入して、
θ = π((1+(n+1)q)/(n-1) - q)/2
= π(1+2q)/(2(n-1)).
n = 1 のときどうするかって?
そのときは、cos((n-1)θ) = 0 が成り立たないから解は無い。
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