チェビシェフの多項式で

チェビシェフの多項式で、

① T_(2n)(x)=1

② T_(n+1)(x)=T_(n-1)(x)=0

を満たすｘはどのようなものでしょうか？
xはnによるのｎを含んだ式で×ような気がします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/04/29 16:04

①　T_[2n](x) = 1.

②　T_[n+1](x) = T_[n-1](x) = 0.

T_k(x) を含む複雑な式だと必ずしも許されないが、
T_k(x) = C　{-1≦C≦1} の解は -1≦x≦1 の範囲にしかない
ことが知られているから、安心して x = cosθ を代入できる。

①
cos(2nθ) = 1 を解くと、 2nθ = 0 + 2πk　{kは任意の整数}.
θ を代入して x = cos(2πk/(2n))
　　　　　　　= cos(πk/n).

②
cos((n+1)θ) = 0, cos((n-1)θ) = 0 を解くと、
(n+1)θ = π/2 + πp,
(n-1)θ = π/2 + πq　{p,qは任意の整数}.
両式を足し算して、 2nθ = π + π(p+q),　←[1]
両式を引き算して、 2θ = π(p-q).　　　　←[2]

この 2式の比から n = (1+p+q)/(p-q) で、
変形すると p = (1+(n+1)q)/(n-1).
これを [1] へ代入して、
θ = π((1+(n+1)q)/(n-1) - q)/2
　= π(1+2q)/(2(n-1)).

n = 1 のときどうするかって？
そのときは、cos((n-1)θ) = 0 が成り立たないから解は無い。

この回答へのお礼

何時も分かりやすい回答ありがとうございます！

お礼日時：2021/05/01 07:48

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/04/29 13:37

x = cosθ を代入して、 θ を求める。