３次元で回転させた座標値の計算方法

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質問者：3115
質問日時：2005/02/24 09:49
回答数：3件

点（Ａｘ、Ａｙ、Ａｚ）を３次元空間にある、点（Ｂｘ、Ｂｙ、Ｂｚ）から、点（Ｃｘ、Ｃｙ、Ｃｚ）に向かう直線を軸に任意の角度で回転させたときの、点（Ａ’ｘ、Ａ’ｙ、Ａ’ｚ）の座標値の計算方法を教えてください。ただし自分の数学レベルは中学生並でベクトルが少しだけ理解できるていどです。よろしくお願いします。

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回答 (3件)

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No.3ベストアンサー

回答者： proto
回答日時：2005/02/24 16:12

オイラー角による座標変換だと

任意の方向ベクトルを軸にした回転はややこしくなるので
四元数を使った座標変換がオススメです

参考URLを見て頂ければここに書くことはないと思います
(ただ私の知識がないだけですが...)

また、任意の点を中心に回転させたいなら
ゲタを履かせて座標変換してから、ゲタを取ればいいだけなので簡単にできるはずです

ゲタを履かせるの意味がわからないかも知れませんが
Aを中心にBを回転させるとすると
BからAを引き、平行移動させてAを原点に持ってきて
同じく平行移動させた(B-A)を回転させ、その結果(B-A)'にAを足してもう一度平行移動させて
ってことです、解るかな？
B → (B-A) → (B-A)' → (B-A)'+A

参考URL：http://staff.aist.go.jp/toru-nakata/quaternion.h …

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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
参考ＵＲＬを元によく考えてみます。

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お礼日時：2005/03/03 09:46

No.2

回答者： 12m24
回答日時：2005/02/24 10:13

　ベクトルうんたらと考えてるとちょっとややこしい（でしょう）ので、平行移動と回転移動の組み合わせで考えてみてください。

ただし、これは行列の乗算の知識が必要となります。

　z軸を中心にした回転座標は以下の行列の式から求められます。

[ Ax ]　[ cosθ　sinθ　０ ][ Bx ]
[ Ay ]= [-sinθ　cosθ　０ ][ By ]
[ Az ]　[　０　　　０　　１ ][ Bz ]

　求める座標値はA、元の座標値はB、回転角はθです。これと平行移動を繰り返せば、質問のB-C方向をZ軸に置き換えることができ、また元に戻すことができます。
　なお、上の式のAとBは質問のものとは無関係です。

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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
この式から求める座標Ａというのは、ＸＹ平面の（０，０，０）のＺ軸で回転させるということで理解できましたが、
例えば、（５、１０、０）を原点に回転させるときは行列をどう変更すればいいのかわかりません。よろしければ教えていただきたいのですが。よろしくお願いします。

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お礼日時：2005/02/24 13:37

No.1

回答者： springside
回答日時：2005/02/24 10:07

この問題は、少なくとも、空間座標系、三角関数、行列といった知識が必要でしょうから、失礼ながら、

>>自分の数学レベルは中学生並でベクトルが少しだけ理解できるていど

では無理だと思いますが．．．。

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Aベストアンサー

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「回転行列」
http://www.cg.info.hiroshima-cu.ac.jp/~miyazaki/knowledge/tech07.html

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1.角度計算がラジアンになる　デグリも関数はあるけど書式がわからない
　無理やり（PI()/180）などを使ってるがアークタンジェントでは書式がわからな...続きを読む

Aベストアンサー

エクセルは行列演算ができます。
ビジネスでは回転は出てきたことがなく（統計ではあり）、小生の知識は生半可ですが参考までに記してみます。（誤りの個所がもしあればごご容赦ください。）
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＞エクセルで回転する座標の出し方
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＞回転方向は反時計回り
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＞角度計算がラジアンになる　
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＝ＤＥＧＲＥＥＳ（角度）＝度
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＞無理やり（PI()/180）などを使ってるが
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＞アークタンジェントでは書式がわからない
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＞書式がわからない
前述の通り、意味が判らない。
----
値としてA1に角度を１２０とか度で入れる
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D3にsin(ｓ）にあたる＝SIN(RADIANS(A1))
E2に-SIN(ｓ）にあたる＝-SIN(RADIANS(A1))
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（一番最後に元に戻します）
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すると、回転軸ベクトルはx-y平面上に乗るので、それがx軸に合うよう、z軸を回転させます
（その角度をψとします）。

ベクトル（Ax Ay Az)と、x軸方向単位ベクトル(1 0 0）のなす平面の法線ベクトルは、(0 Az -Ay)。
x軸周りにφ回転させると、このベクトルは、
「1　　0　　　　0　　　「 0　　=「　　　　　　0
0　cosφ　-sinφ 　 Az　　　Az・cosφ+Ay・sinφ
0　sinφ　 cosφ」　-Ay」　　Az・sinφ-Ay・cosφ」
で、z軸ベクトルに合うので
「　　　　　　0　　　　　 =「0
Az・cosφ+Ay・sinφ　　0　
Az・sinφ-Ay・cosφ」　 1」
これから、cosφ=-Ay/(Ay^2+Az^2)、sinφ=Az/(Ay^2+Az^2)
∴　φ=Arctan(-Az/Ay)

回転軸ベクトル（Ax Ay Az)は、
「1　　0　　　　0　　　「Ax　=「　　　　　　Ax　　　　　　=「　　　　　　　Ax　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=「Ax　
0　cosφ　-sinφ 　 Ay　　　Ay・cosφ-Az・sinφ　　 Ay・{-Ay/(Ay^2+Az^2)}-Az・{Az/(Ay^2+Az^2)}　　 -1
0　sinφ　 cosφ」　 Az」　　 Ay・sinφ+Az・cosφ」　 Ay・{Az/(Ay^2+Az^2)}+Az・{-Ay/(Ay^2+Az^2)}」　　0」
に変換され、x-y平面上に乗ります。これを(Ax' Ay' Az') とします。
つまり、(Ax' Ay' Az')=(Ax -1 0)

始点(Px',Py',Pz')もこの変換を受けるのですが、変換を全部纏めて後、一括変換させます。

今度は、x-y平面上に乗った回転軸ベクトル（Ax' Ay' Az')を、z軸の周りにψ回転させます。
「cosψ　-sinψ　0　「Ax' 　=「Ax'・cosψ-Ay'・sinψ　=「Ax・cosψ+sinψ
sinψ　 cosψ　0 　 Ay'　　 Ax'・sinψ+Ay'・cosψ　　 Ax・sinψ-cosψ
　 0　　　　0　　 1」　 Az'」　　　　　　　Az'　　　　　　」　　　　　0　　　　　　」
これが、x軸ベクトルに合うので、
Ax・cosψ+sinψ=1
Ax・sinψ-cosψ=0
これから、cosψ=Ax/(Ax^2+1)、sinψ=1/(Ax^2+1)
∴　ψ=Arctan(1/Ax)

以上の回転の変換の積は、
「cosψ　-sinψ　0　「1　　0　　　　0　　 =「cosψ　-sinψ・cosφ　 sinψ・sinφ
sinψ　 cosψ　0 　 0　cosφ　-sinφ 　 sinψ　　cosψ・cosφ　-cosψ・sinφ
　 0　　　　0　　 1」　 0　sinφ　 cosφ」　　 0　　　　　sinφ　　　　　cosφ　　　」

この変換を始点(Px',Py',Pz')に施します。
「cosψ　-sinψ・cosφ　 sinψ・sinφ　　「Px' = 「Px'・cosψ-Py'・sinψ・cosφ+Pz'・sinψ・sinφ
sinψ　　cosψ・cosφ　-cosψ・sinφ　 Py'　　 Px'・sinψ+Py'・cosψ・cosφ-Pz'・cosψ・sinφ
　 0　　　　　sinφ　　　　　cosφ　　　」　Pz'」　　Py'・sinφ+Pz'・cosφ　　　　　　　　　　　　　　」　

この点を(Px”,Py”,Pz”)とします。

さて、ここでx軸に合った回転軸ベクトル(1 0 0)周りに(Px”,Py”,Pz”)を角度θ、回転させます。
「1　　0　　　　0　　　「Px”　=「　　　　　Px”　　　
0　cosθ　-sinθ 　 Py”　　Py”・cosθ-Pz”・sinθ　
0　sinθ　 cosθ」　 Pz”」　 Py”・sinθ+Pz”・cosθ」

これを(P_x, P_y, P_z）とします。

今度は、回転させた回転軸を元に戻す変換です。
回転の変換の逆行列は、行列各要素の余因子の行と列を入れ替えたものを行列式で割ったもので、
行列式は、(cosψ）^2+(sinψ)^2=1 なので、逆行列は
「　cosψ　　　　　　sinψ　　　　　　　0　　
-sinψ・cosφ　　cosψ・cosφ　　 sinφ
sinψ・sinφ　　 -cosψ・sinφ　　cosφ」

これを、(P_x, P_y, P_z）に施します。
「　cosψ　　　　　　sinψ　　　　　　　0　　「P_x　=「P_x・cosψ+P_y・sinψ
-sinψ・cosφ　　cosψ・cosφ　　 sinφ　　P_y　　 -P_x・sinψ・cosφ+P_y・cosψ・cosφ+P_z・sinφ
sinψ・sinφ　　 -cosψ・sinφ　　cosφ」 P_z」　 P_x・sinψ・sinφ-P_y・cosψ・sinφ+P_z・cosφ」

結局、θ回転後のP点の座標は、
x座標： P_x・cosψ+P_y・sinψ
y座標： -P_x・sinψ・cosφ+P_y・cosψ・cosφ+P_z・sinφ
z座標： P_x・sinψ・sinφ-P_y・cosψ・sinφ+P_z・cosφ
となります。

ここで、置き換えた変数を順次、元に戻します。
P_x、P_y、P_z を Px”、Py”、Pz” に、
Px”、Py”、Pz” を Px’、Py’、Pz’ に、
最後に、平行移動を戻して　Px’、Py’、Pz’ を Px、Py、Pz に直します。

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こんにちは。お知恵をお借りしたく質問致します。
プログラミング中で出た話題なのですが、計算の問題ですので数学カテゴリが適しているだろうと思い、投稿いたします。

ちょっと説明しにくく図を添付致しましたので併せてご覧いただければと思います。(線がふるえていて申し訳ないです。)

図のように、xyz座標を回転してXYZ座標の向きに一致させたいと考えています。
また、「指定した軸(α,β,γ)を回転軸としてθ度回転する」という関数があるので、それを活用しようと考えています。α,β,γはコサイン値(方向余弦)です。回転方向は、ベクトルの向きに時計回り…右ネジの法則みたいな感じです。

x軸から見たXの角度(θxX), y軸からのX(θyX), z軸からのX(θzX)
同様にx軸から見たY(θxY),θyY,θzY、θxZ,θyZ,θzZ
といったように、それらの角度(コサイン値)は分かっています。
(=xyz座標からみたXベクトルの方向余弦、Yベクトルの方向余弦、Zベクトルの方向余弦が分かっている。)

z軸とZ軸の外積を取ったベクトルを回転軸として、θzZが分かっているのでその角度で回転することでZ軸は一致しますけど、XY軸は合いません。(当然ですが…)

そのXY軸を合わせるためにまた回転するというのも遠回りで、任意の軸1本を中心に何度か回転するだけ(上記関数を1度使用するだけ)で、必ず向きが一致する解があると思うのですが、その任意軸と角度を算出する方法が分かりません。

一般にどういう計算をするのでしょうか。アドバイスいただければ幸いです。
なお、上記関数を用いない方法でも構いません。
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その他、説明不足な点がありましたら随時追記致しますので、ご指摘願います。
どうかよろしくお願いいたします。

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というかそのままでいいのか。バカだ。。。。

回転前の基底ex, ey, ez，回転後の基底eX, eY, eZとして

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例えば、z=x+yの場合シートは以下のとおりになるかと思います
z x y px py
2 1 1 ・・・・
3 1 2 ・・・・
※pxとpyは面倒なので自分で計算してください
またαとβはラジアンで入力してください
度（θ）をラジアン(x)に変更する公式は
x＝θ*pai/180
です
pai=3.14159・・・です
関数にパイがありますのでそれを使用してください
わからないことありましたらまた回答します