2階線形微分方程式 z''+4z'+25z=25uに対して、オーバーシュートを計算しなさいという問題

2階線形微分方程式　z''+4z'+25z=25uに対して、オーバーシュートを計算しなさいという問題があるのですが、どのように求めるのですか？
uも何なのか与えられていないのに解けるのですか？

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/21 18:25

問題に不明な点が２つ。

1) 「’」 は何の変数についての微分か？
2) 「オーバーシュート」の定義は何か？

u と「’」の変数との関係も必要になるでしょうね。

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/05/21 21:55

雑な質問です。

RLC直列回路の過渡現象の対比で考えます。
uはステップ関数、z(0)=z'(0)=0 とします。

特性式は D=-2±√(4-25)=-2±j√21
したがって、一般解はよく知られたように
p=2 , w=√21 とおくと

z=1+exp(-pt)(Acoswt+Bsinwt)
となる。当然

z(∞)=1
となる。

0=z(0) から、A=-1
0=z'(0) から、B=p/w=2/√21
となる。
z=1+exp(-pt)(-coswt-(p/w)sinwt)

zのピークは
0=z'=-pexp(-pt)(-coswt-(p/w)sinwt)+exp(-pt)(wsinwt-pcoswt)
=exp(-pt){p²/w+w)sinwt}

したがって、wt=π だから、zのピークは z(π/w)で、オーバシュート
は

z(π/w)-z(∞)=exp(-πp/w)(-cosπ-(p/w)sinπ)=exp(-πp/w)
　=0.254
となる。

この回答へのお礼

ありがとうございます。uは問題文で与えられてない時はステップ関数で考えるのですね。

お礼日時：2021/05/21 22:02